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Résumé: Cet article est consacré au problème stationnaire des fluides de
grade deux, dans le cas $\alpha_1 + \alpha_2 = 0$, en
dimension trois. Par rapport au problème en
dimension deux, étudié par E.H. Ouazar, la norme $H^3$ de la vitesse n'est pas
bornée pour toute donnée en
dimension trois. Cependant, par une méthode spéciale utilisant
conjointement une majoration $H^1$ de la vitesse, une "pseudo-continuité" par
rapport à la donnée (effective pour une norme de la vitesse dans
$H^3$ petite) et une inégalité polynomiale vérifiée par la norme
$H^3$ de la vitesse, nous montrons l'existence de solutions, l'unicité,
la dépendance continue par rapport à la donnée, pour une donnée petite. On établit
des résultats de régularité qui montrent que cette solution est une solution au
sens classique, quand la donnée est assez petite et
régulière.
Abstract: This article is devoted to the stationary problem of second
grade fluids, in the case when $\alpha_1 + \alpha_2 =
0$, in three dimensions. As opposed to the problem in
two dimensions, studied by E.H. Ouazar, the $H^3$-norm
of the velocity is not bounded for all data in three
dimensions. However, by a special method using together a $H^1$ bound of the velocity, a ``pseudo-continuous
dependence'' with respect to the data (effective for a small $H^3$-norm of the
velocity) and a polynomial inequality verified by the
$H^3$-norm of the velocity, we show existence of
solutions, uniqueness, continuous dependence with
respect to the data, for small data. We also prove
further regularity results establishing that this is a classical solution when the data is small and smooth enough.
Mots Clés: mécanique des fluides
Date: 1999-01-01