### HARDY'S INEQUALITIES REVISITED

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• 26D10 Inequalities involving derivatives and differential and integral operators

Résumé: On montre que pour tout domaine $\Omega \subset \R^n$, borné
régulier, il existe une constante réelle
$\lambda^\star \in \R$ telle que $\int_\Omega |\nabla u|^2 \geq {1 \over 4} \int_\Omega (u^2/\delta^2) + \lambda^\star \int_\Omega u^2, \quad \forall u \in H^1_0(\Omega),$ où $\delta(x) =$
dist$(x,\partial\Omega)$. Si $\Omega$ est convexe on montre que $\lambda^\star > 0$.

Abstract: We prove that for any smooth bounded domain $\Omega$ in
$\R^n$ there is a constant $\lambda^\star \in \R$ such that
$\int_\Omega |\nabla u|^2 \geq {1 \over 4} \int_\Omega (u^2/\delta^2) + \lambda^\star \int_\Omega u^2, \quad \forall u \in H^1_0(\Omega),$ where $\delta(x) =$
dist$(x,\partial\Omega)$. If $\Omega$ is convex we prove that $\lambda^\star > 0$.

Mots Clés: inégalité de Hardy

Date: 1998-01-01