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Résumé:
Pour une large classe d'opérateurs
elliptiques, les méthodes d'approximation par
ondelettes permettent d'allier un ordre d'approximation élevé,
des techniques de préconditionnement optimales ainsi que
des stratégies d'adaptativité simple et efficaces.
Ces méthodes s'inscrivent dans le cadre, déjà classique en
éléments finis des méthodes multiéchelles, où une fonction
est décomposée en une approximation grossière et une
série de corrections de plus en plus fines. La
spécificité des méthodes d'ondelettes réside dans l'utilisation explicite des bases d'ondelettes engendrant
les espaces complémentaires entre deux approximations successives.
C'est dans cette construction que réside
l'une des difficultés majeures de mise en \oe uvre
de ces méthodes. Dans cet article nous définissons
des bases d'ondelettes sur un domaine $\Omega$, non nécessairement
tensoriel, adaptées à la prise
en compte des conditions aux limites non homogènes, dans le cadre
d'algorithmes adaptatifs. La méthode proposée repose sur une
relation de compatibilité entre les décompositions
multiéchelles sur le domaine et sa frontière, ainsi que sur les propriétés de
caractérisation des espaces fonctionnels par ces
décompositions. Ces propriétés
permettent de construire des opérateurs de relèvement qui sont
stables pour certains intervalles de régularité. Leur utilisation pour la
résolution, par une méthode d'ondelettes adaptatives, de
problèmes elliptiques
d'ordre 2 avec conditions aux limites non homogènes, permet de
préserver la compression
potentielle de la solution dans la base d'ondelette.
La construction est dans un premier temps définie et analysée
sur le domaine $]0,1[^2$, puis elle est étendue à des domaines plus
généraux dans le cadre d'une méthode de décomposition de
domaine conforme.
Abstract: Wavelet methods combine
high order accuracy, optimal multilevel preconditioning techniques and simple and
efficient adaptive approximation, in order
to solve elliptic operator equations. One of the main
difficulties in this context is the efficient treatment of non-homogeneous
boundary conditions. In this paper, we propose a strategy that makes
it possible to append such conditions in
the setting of space refinement (i.e. adaptive) discretizations of second
order problems. Our method is based on the use of compatible
multiscale decompositions for both the domain
$\Omega$ and its boundary $\Gamma$, and on the possibility of characterizing
various function spaces from the numerical properties of these
decompositions. In particular, this allows for the construction of a
lifting operator which is stable for a certain range of smoothness cla
ses, and preserves the compression of the solution in the wavelet
basis. The analysis is first carried out for the tensor product domain
$]0,1[^2$, a strategy is developed in order to treat more general doma
ns, based on conforming domain decomposition techniques.
Mots Clés: ondelettes, décomposition de domaine
Date: 1998-01-01