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Résumé: On considère l'équation de la chaleur semi-linéaire
\begin{equation}\label{1}
\left\{
\begin{array}{l}
u_t-\Delta u=|u|^{p-1}u, \mbox{ } x\in \Omega, \; \; t\in [0,T],\\
u(t,x)=0, \mbox{ } x\in \partial\Omega, \; \; t\in [0,T],\\
u(0,x)=u_0(x), \mbox{ } x\in \Omega,
\end{array}
\right.
\end{equation}
o{\`u} $\Omega$ est un domaine borné régulier de $R^N$
ou bien $\Omega=R^N$, $u_0\in L^{\infty}(\Omega)$ et $p>1$.
Soit $u$ une solution de (1) définie sur l'intervalle de temps
maximal $(0,T_m)$ telle que $T_m$ est fini. Comme conséquence
bien connue de l'alternative d'explosion, la norme $L^\infty$ de
$u(t)$ explose lorsque $t \uparrow T_m$.
On étudie ici le comportement des normes $L^q$ de $u(t)$
lorsque $t$ s'approche du temps d'explosion $T_m$, pour des valeurs
de $1\le q<+\infty$.
La valeur $q=\frac{N(p-1)}{2}$ joue un r{\^o}le critique.
Alors que pour tout $q$ sur-critique, c'est-à-dire $q>\frac{N(p-1)}{2}$,
il a été montré que
$\|u(t)\|_{L^q(\Omega)}\rightarrow +\infty$ lorsque $t\uparrow T_m$
sans hypothèse supplémentaire,
on prouve ici un résultat d'explosion de la norme critique ($q=\frac{N(p-1)}{2}$)
pour des solutions radiales po\-si\-ti\-ves de (\ref{1}) sous une condition
portant sur le taux d'explosion.
Finalement, en analysant précisément les divers comportements asymptotiques possibles
des solutions explosives de (\ref{1}) dans le cas de la dimension un, on
présente des résultats d'explosion concernant les normes sous-critiques,
c'est-à-dire $q<\frac{N(p-1)}{2}$.
Abstract: We consider the semilinear heat equation (\ref{1})
where $\Omega$ is a smooth, bounded domain in $R^N$ or $\Omega=R^N$,
$u_0\in L^{\infty}(\Omega)$ and $p>1$.
Let $u$ be a solution of (1) defined on the
maximal interval of time $(0,T_m)$, and assume that
$T_m$ is finite. As a well known consequence of the blow
up alternative, the $L^{\infty}$-norm of $u(t)$ blows up as $t \uparrow T_m$.
We study here the behaviour of the $L^q$-norms
of $u(t)$ as the blow up time $T_m$ is approached, for $1\le q<+\infty$.
The value $q=\frac{N(p-1)}{2}$ plays a critical role.
Whereas for all $q$ supercritical it has been proved that
$\|u(t)\|_{L^q(\Omega)}\rightarrow +\infty$ as $t\uparrow T_m$
with no additional assumption,
we prove here a critical norm blow up result
for radial, nonnegative solutions of (\ref{1}), under a suitable growth condition
on the blow up rate.
Finally, analyzing precisely the various possible
blow up behaviours of the solutions of (\ref{1})
in the one-dimensional case, we present some blow up results concerning the
subcritical norms.
Mots Clés: :
Date: 1998-01-01