Convergence of blow up solutions of nonlinear heat equations in the supercritical case

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Résumé: On considère l'équation de la chaleur non-linéaire
\begin{equation}\label{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
u_t-\Delta u=u^p, \mbox{ } x\in \Omega, \; \; t\in [0,T],\\
u(t,x)=0, \mbox{ } x\in \partial\Omega, \; \; t\in [0,T],\\
u(0,x)=u_0(x), \mbox{ } x\in \Omega,
\end{array}
\right.
\end{equation}
où $\Omega$ est une boule de $R^N$ ou bien $\Omega=R^N$,
$u_0\in L^{\infty}(\Omega)$ est continue, positive et à symétrie
sphérique, telle que la solution correspondante $u$ de (\ref{equation})
explose en temps fini $t=T_m$ au point $x=0$. De plus, on suppose que
l'exposant $p$ est sur-critique, c'est-à-dire
\begin{equation}
p>\frac{N+2}{N-2}, \; \mbox{ et } \; N\geq 3.
\end{equation}
Dans ce papier, on étudie le comportement asymptotique de $u$ à
l'explosion autour de sa singularité $x=0$. On obtient un
résultat de convergence pour l'équation non-linéaire
parabolique associéeà après le changement de variables
auto-similaires autour de $(T_m,0)$. On prouve l'existence de profils
auto-similaires non-triviaux pour $u$ lorsque $t$ s'approche du temps
d'explosion $T_m$. Ce phénomène contraste avec le cas de l'exposant $p$ sous-critique.

Abstract: We consider the nonlinear heat equation
where $\Omega$ is a ball in $R^N$ or $\Omega=R^N$,
$u_0\in L^{\infty}(\Omega)$ is continuous, nonnegative and radially symmetric, such that
the corresponding solution of (\ref{equation}) blows up in finite time
$t=T_m$ at $x=0$. We assume in addition that the exponent $p$ is supercritical, that is
(\ref{supercriticalp}) holds. In this paper, we study the blow up behavior of
$u$ around its singularity $x=0$.We obtain a convergence result for the
nonlinear parabolic equation which is associated to after rescaling by
similarity variables around $(T_m,0)$.
We prove the existence of nontrivial self-similar blow up profiles for $u$
as the blow up time $T_m$ is approached. This fact is in contrast with the
case of subcritical exponent $p$.

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Date: 1998-01-01