Résumé: We study the minima of the functional
$\int_\Omega f(\nabla u)$. The function $f$ is not convex, the
set $\Omega$ is a domain in $\R^2$ and the minimum is sought over
all convex functions on $\Omega$ with values in a given bounded
interval. We prove that
$u$ is almost everywhere `on the boundary of convexity', in the sense
that there exists no open set on which
$u$ is both strictly convex and differentiable. In
particular, wherever the Gaussian curvature is defined and continuous, it is
zero.
An important application of this result is the problem of the
body of least resistance as formulated by Newton (where
$f(p) = 1/(1+\abs{p}^2)$ and $\Omega$ is a ball), implying that
the minimizer is not radially symmetric. This generalizes a
result in~\cite{bro}.

On examine les minimums d'une fonctionnelle de la forme
$\int_\Omega f(\nabla u)$ o\`u $f$ n'est pas convexe et $\Omega$
est un domaine borné de $\R^2$, l'ensemble des fonctions
admissibles $u$ étant restreint aux fonctions convexes à valeurs dans un
intervalle fixé. On démontre que ces minimaux sont presque
partout
à la limite de la convexité, en ce sens qu'il n'existe pas
d'ouvert où ils sont à la fois strictement convexes et
différentiables. En particulier, aux
points où leurs graphes possèdent une courbure gaussienne continue,
elle est nulle.
Ce résultat s'applique notamment au problème de la
résistance minimale de Newton (où $f(p) = 1/(1+\abs{p}^2)$ et
$\Omega$ est une boule). Il implique
que le minimum n'est pas à symétrie radiale, généralisant
ainsi le résultat de~\cite{bro}.