Résumé: On considère certaines EDP's elliptiques non linéaires pour lesquelles le Théorème des Fonctions Inverses, appliqué formellement, suggère l'existence de solutions. On démontre cependant la non-existence de solution en plusieurs sens faibles. Un problème modèle est $-\Delta u = (u^2/|x|^2) + c$ dans $\Omega$, $u=0$ sur $\partial \Omega$, o\`u $\Omega\subset R^N$, $N\geq 2$, est un domaine qui contient $0$. On démontre que, pour toute constante $c>0$ (aussi petite soit-elle), ce problème n'a pas de solution aux sens des distributions dans $\Cal{D}'(\Omega \{0})$. En considérant une technique classique d'approximation, on montre que les solutions approchées explosent partout dans $\Omega$. Enfin, on démontre des résultats analogues dans le cas parabolique et, en particulier, on met en évidence des phénomènes d'explosion totale et instantanée.

We consider some simple nonlinear elliptic PDE's for which a formal application of the Inverse Function Theorem suggests the existence of solutions. We prove, however, nonexistence of solutions in various weak senses. A model problem is given by $-\Delta u = (u^2/|x|^2) + c$ in $\Omega$, $u=0$ on $\partial \Omega$, where $\Omega\subset R^N$, $N\geq 2$, is a bounded domain containing $0$. For any constant $c>0$ (no matter how small), we prove that this problem has no distributional solution in $\Cal{D}'(\Omega \{ 0})$. We also show that for a natural approximation procedure of the problem, approximate solutions blow up everywhere in $\Omega$. We prove parabolic analogues of these results and, in particular, some instantaneous and complete blow-up phenomena.