Homogenization in some weakly connected domains
Marc BRIANE
Résumé: In this paper, we study the homogenization of the second order elliptic
equation $-\;\mbox{div}\,(A_\ep\nabla u_\ep)+b_\ep\, u_\ep =f$ with Neumann boundary condition, in a weakly connected domain $\Om_\ep$. The set $\Om_\ep$ is an open subset of a fixed bounded open set $\Om$ of~$\RR^N$, $N\geq 2$, which is made of two separated parts $\Om_{1\ep}$ and $\Om_{2\ep}$ jointed by a set of thin bridges $\omega_\ep$, namely $\Om_\ep=\Om_{1\ep}\cup\Om_{2\ep}\cup\omega_{\ep}$; both domains $\Om_{1\ep}$ and $\Om_{2\ep}$ are $\ep\,$-$\,$periodic while $|\omega_\ep|\to 0$.
Three geometrical cases are studied according to the connectedness of $\Om_{1\ep}$ and~$\Om_{2\ep}$. We moreover distinguish three cases for the size of the bridges, whose the critical one corresponds to $|\omega_\ep|\sim c\,\ep^2$. In each case, the homogenized problem that we obtain is a coupled system which is more or less coupled according to size of the bridges. A corrector result is also given, which yields a strong approximation of $\nabla u_\ep$. This corrector includes an interaction
term in the critical size.
Dans cet article, on étudie l'homogénéisation de l'équation elliptique du
second ordre $-\;\mbox{div}\,(A_\ep\nabla u_\ep)+b_\ep\, u_\ep =f$ avec condition de Neumann au bord, dans un domaine faiblement connecté $\Om_\ep$. Le domaine $\Om_\ep$ est inclus dans un ouvert borné fixé $\Om$ de~$\RR^N$, $N\geq 2$, et est composé de deux parties disjointes
$\Om_{1\ep}$ et $\Om_{2\ep}$ reliées par un ensemble de ponts très fins $\omega_\ep$,
c'est-à-dire $\Om_\ep=\Om_{1\ep}\cup\Om_{2\ep}\cup\omega_{\ep}$ ; les deux domaines $\Om_{1\ep}$
and $\Om_{2\ep}$ sont $\ep\,$-$\,$periodiques alors que $|\omega_\ep|\to 0$. On étudie trois cas selon la connexité de $\Om_{1\ep}$ et $\Om_{2\ep}$. On distingue en outre trois cas suivant la taille des ponts, dont le cas critique correspondant à $|\omega_\ep|\sim c\,\ep^2$. Dans chaque cas, le problème limite obtenu est un système couplé dont le degré de couplage dépend de la taille des ponts. On donne également un résultat de correcteur qui fournit une approximation forte de $\nabla u_\ep$. Ce correcteur contient un terme d'interaction dans le cas
critique.