WEAK EIGENFUNCTIONS FOR THE LINEARIZATION OF EXTREMAL ELLIPTIC PROBLEMS
Xavier Cabre, Yvan Martel
Résumé: On considère des problèmes elliptiques
semi-linéaires dépendant d'un paramètre et avec des
nonlinéarités convexes. Il existe une valeur du
paramètre qui est extrémale pour l'existence de solution.
On étudie la linéarisation du problème à la solution
extrémale faible correspondant à ce paramètre.
On prouve l'existence d'une fonction propre faible avec
valeur propre zéro pour ce problème linéarisé. Ce
phénomème est une explication possible à l'inexistence
de solutions du problème semilinéaire pour des
paramètres plus grands que le paramètre extrémal.
Enfin, on trouve toutes les fonctions propres et valeurs
propres faibles du problème linéarisé dans la boule
unité correspondant à des non-linéarités
exponentielles et puissances.
We consider semilinear
elliptic problems depending on a parameter and with convex
nonlinearities. There is a value of the parameter which is
extremal in terms of existence of solution. We study the
linearization of the problem at the extremal weak solution
corresponding to this parameter. We prove existence of a weak
eigenfunction with eigenvalue zero for this linearized
problem. This fact is a possible explanation of the
nonexistence of solutions of the semilinear problem for
parameters bigger than the extremal one. Finally, we find
all weak eigenfunctions and eigenvalues of the linearized
problem in the unit ball corresponding to the exponential and
power nonlinearities.