Résumé: Realistic treatment of scattering from an object involves the use of
a huge number of points ; thus using ``fast methods'' is a crucial
issue. The fast multipole method is one of them. We are here
interested in solving the Helmholtz equation by a boundary
elementmethod. The algorithm, first introduced by Vladimir Rokhlin,
consists in approximating the kernel of the second order integral equation.
In 3D, we here prove, in a rigorous way, that the
complexity of the method is $n^{\frac{3}{2}}$. The
main object of this paper is to find the optimal number
of ``poles'' that has to be taken, and the optimal number of ``directions''
to consider. From this result, we obtain the complexity of the
algorithm. We will also give precise estimations of the error.
In a forthcoming paper we will present the 3D version of the multistep
FMM, with which we can reduce thedcomplexity to $n.\log^2(n)$.


Le traitement réaliste du rayonnement
électromagnétique par un objet implique l'utilisation d'un très grand nombre
de points; c'est pourquoi l'utilisation de ``méthodes rapides'' est un problème crucial. La
méthode multipole rapide est l'une d'entre elles. On s'intéresse ici
à la résolution de l'équation deHelmholtz par une méthode
d'éléments frontières. Cet algorithme, introduit pour la première
fois par Vladimir Rokhlin, consiste à approximer le noyau de l'équation
intégrale du deuxième ordre. En 3D, on prouve d'une manière
rigoureuse que la complexité de la méthode est
en $n^{\frac{3}{2}}$. L'objet principal de cet article est de trouver le nombre optimal de
``pôoles'' qui doivent être pris, et le nombre optimal de ``directions''
à considérer. De ce résultâat, on déduit la complexité
de l'algorithme. On donne également des estimations
précises de l'erreur. Dans un article à venir, nous présenterons
la version multi-niveaux 3D de la FMM, avec laquelle on peut réduire la
complexité à $n.\log^2(n)$.

Mots Clés: Helmholtz 3D, Iterative methods, Approximation of kernel, Multipole expansion