Contrôle en mécanique des fluides

Considérons un fluide qui évolue à l'intérieur d'un domaine $\Omega$. La vitesse du fluide est décrite par le champ de vitesse $u(t,x)$. À l'instant initial, le fluide est dans un état excité $u_0(x)$. On souhaite contrôler le fluide pour le ramener à son état de repos $u \equiv 0$ en un temps $T$ potentiellement petit. La dynamique du fluide est décrite par l'équation de Navier-Stokes incompressible. Si l'état initial $u_0$ est suffisamment petit (étant donné $T$), le contrôle local vers l'état de repos est possible en utilisant la partie linéaire parabolique de l'équation. En revanche, si l'état initial est grand et que le temps est petit, il faut impérativement utiliser la partie convective non linéaire de l'équation.

Le régime asymptotique des grandes vitesses et des temps petit est celui des grands nombres de Reynolds. Ainsi, à l'intérieur du domaine, le fluide va se comporter comme un fluide non visqueux. En revanche, à proximité des parois du domaine, des couches limites peuvent (et vont) se former. Cette situation n'est évitable que si l'on peut contrôler l'ensemble de la paroi $\partial\Omega$ du domaine. Dans la pratique, c'est rarement le cas et le domaine de contrôle $\Gamma \subset \partial\Omega$ ne couvre qu'une petite portion de la paroi. Il faut donc comprendre si les couches limites qui se forment sur la partie non contrôlée du bord $\partial\Omega \setminus \Gamma$ sont ou non un obstacle à la contrôlabilité globale en temps petit.

Dans ma thèse, j'ai commencé par étudier la situation simplifiée du contrôle de l'équation de Burgers en présence d'une couche limite. Dans ce cas, j'ai démontré qu'il était tout de même possible d'obtenir un résultat global en temps petit. Puis, avec Jean-Michel Coron et Franck Sueur, nous nous sommes intéressés au cas de l'équation de Navier-Stokes, pour des conditions au bord de glissement avec frottement.

Dans ces deux cas, la stratégie de contrôle repose sur trois ingrédients essentiels.

  • l'existence d'une stratégie de contrôle en temps petit pour l'équation non visqueuse,
  • la possibilité de calculer plus ou moins explicitement l'apparition de la couche limite pendant cette première phase de contrôle,
  • des estimations de dissipation d'énergie dans la couche limite pendant une seconde phase de contrôle passif.
Cette méthode de la dissipation préparée permet d'envisager d'aborder des situations encore plus pathologiques, comme les conditions au bord de Dirichlet pour l'équation de Navier-Stokes. Dans cette situation, les couches limites sont encore plus difficiles à gérer.

Obstructions quadratiques à la contrôlabilité

Considérons un système de contrôle dont la dynamique est régie par l'équation $\partial_t{x}(t) = f(x(t), u(t))$, où $u(t)$ représente un contrôle scalaire à choisir à chaque instant. Plaçons-nous au voisinage d'un point équilibre $x_0$. Un tel système est dit localement contrôlable en temps petit au voisinage de $x_0$ lorsque, pour tout $T > 0$, pour tout $M > 0$, il existe un voisinage de $x_0$ de taille $\delta > 0$ tel que, toute donnée initiale $x^*$ dans ce voisinage puisse être ramenée à $x_0$ en un temps $T$ avec des contrôles de taille plus petite que $M$. La contrôlabilité locale en temps petit est une notion essentielle en théorie du contrôle.

Comme il s'agit d'une notion locale, la démarche naturelle consiste à linéariser la dynamique du système au voisinage du point d'équilibre. On obtient alors (au moins formellement) un système linéaire du type $\partial_t{x}(t) = Ax(t) + u(t)m$. En dimension finie, le critère de Kalmann permet de connaître l'ensemble des directions contrôlables pour un tel système linéaire. Si ces directions engendrent l'espace complet, alors le système non linéaire est aussi contrôlable par un argument du type point fixe ou théorème d'inversion locale.

En revanche, si le système linéarisé n'est pas contrôlable, on ne peut pas conclure quant à la contrôlabilité locale du système non linéaire initial. Pour comprendre la dynamique du système, il faut alors poursuivre le développement. On peut par exemple décomposer l'état en deux parties $a$ (la partie contrôlable à l'ordre linéaire) et $b$ (la partie sur laquelle le contrôle n'a aucun effet au premier ordre). La dynamique de $b$ fait intervenir un terme quadratique. On peut avoir selon les cas $\partial_t{b} = Ab + Q(a,a)$ ou bien $\partial_t{b} = Ab + Q(a,u)$. Dans les deux cas, il faut étudier un opérateur quadratique.

En dimension finie, ces approximations quadratiques ne sont jamais contrôlables. On peut démontrer que l'état dérive dans une direction privilégiée. Plus le contrôle utilisé est grand, plus la dérive est importante. En dimension infinie (pour des équations aux dérivées partielles), il n'y a pas de théorie générale. Mes recherches visent à mieux comprendre les comportements possibles. J'ai notamment obtenu un premier résultat dans le cas de l'équation de Burgers, qui fait apparaître une dérive fractionnaire impliquant la norme $H^{-5/4}$ du contrôle. Ceci est un phénomène nouveau et spécifique à la dimension infinie. La démonstration fait intervenir l'idée d'un noyau asymptotique en temps petit dont il faut étudier la coercivité.


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