Bienvenue - Laboratoire Jacques-Louis Lions

13 février 2015 — 14h00
Laurent Baratchart (Inria Sophia Antipolis)
Problèmes non strictement elliptiques avec coefficients exp(W^1,2) dans le plan

Résumé

 Le problème de Dirichlet homogène pour une équation du type div(\sigma \nabla u) = 0 sur un ouvert \Omega \subset R^n a été abondamment étudié lorsque la conductivité \sigma est strictement elliptique : 0 < c < \sigma < C < + \infty. Le cas de données appartenant à L^p(\partial \Omega), où \partial \Omega désigne le bord de \Omega supposé lisse ou même Lipschitz-régulier, a notamment donné lieu à plusieurs développements visant à affaiblir les hypothèses de régularité sur \sigma, cf. par exemple les travaux de Kenig-Pipher, Kenig-Koch-Pipher-Toro, Verchota-Vogel, Auscher-Axelson, Auscher-McIntosh-Mourgoglou et d’autres.
 Nous nous intéresserons ici à une situation dans le plan (i.e. n = 2) où \sigma n’est pas strictement elliptique. Nous exploiterons le fait que, sur un domaine plan, un lien étroit existe entre les solutions de div(\sigma \nabla u) = 0 et les fonctions pseudo-holomorphes, i.e. les w vérifiant \bar \partial w = \alpha \bar w. Plus précisément, si v est la conjuguée généralisée de u, alors w = \sigma^1/2 u + i \sigma^-1/2 v est pseudo-holomorphe avec \alpha = \bar \partial \log \sigma^1/2. Ce lien nécessite une certaine différentiablilité de \sigma, mais n’impose pas l’ellipticité stricte dès lors que \log \sigma appartient à un espace de Sobolev W^1,r (\Omega) avec r \leq 2. Nous montrerons comment la théorie pseudo-holomorphe de Bers-Vekua, initialement développée pour r > 2, se généralise pour partie au cas r = 2 et nous en déduirons le caractère bien posé, dans des classes de Hardy généralisées, du problème de Dirichlet sur un ouvert assez régulier du plan avec données dans l’espace pondéré L^p(\partial \Omega, \sigma^p/2) lorsque \sigma \geq 0 et \log \sigma \in W^1,2 (\Omega). Pour de telles solutions, les estimés non-tangentiels ne sont pas nécessairement valides et les solutions peuvent être localement non bornées.