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12 émérites et collaborateurs bénévoles

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Chiffres janvier 2014

 

Séminaire du LJLL : F. Alabau

Fatiha Alabau (Université de Lorraine Metz)
Méthode de convexité avec poids optimal pour la stabilisation des EDO et EDP
Résumé
 Cet exposé concerne la stabilisation non linéaire des EDO semi-linéaires (par exemple l’oscillateur harmonique semi-linéaire) et des EDP hyperboliques (par exemple de type ondes). Pour ce type de problèmes, une énergie naturelle peut être associée aux solutions, et cette énergie est dissipée au cours du temps. Nous nous intéressons au comportement asymptotique de cette énergie lorsque le temps tend vers l’infini. Plusieurs questions se posent alors :
— comment décrire de manière optimale, explicite, et par une formule simple, la vitesse de décroissance de cette énergie vers zéro, en fonction du comportement de l’amortissement non linéaire ou de l’amortissement mémoire en utilisant la relation de dissipation ?
— quels liens peuvent être établis entre les propriétés physiques et les propriétés mathématiques ?
— quelles différences y a-t-il entre le cadre de la dimension finie (EDO) et celui de la dimension infinie (EDP) ?
— peut-on donner un cadre général d’étude de ces questions qui s’appliquerait à de nombreuses EDP, à des dissipations de nature différente ?
— cette analyse peut-elle être poursuivie de manière unifiée pour les EDP semi-discrétisées spatialement, temporellement ou totalement ?
 Nous présenterons la méthode de convexité avec poids optimal qui permet de répondre à ces différentes questions d’une façon unifiée, en lien avec d’autres outils, et nous pointerons les questions restant ouvertes. Nous nous attacherons aussi à faire comprendre que des propriétés simples et nouvelles peuvent être dégagées lorsque les bonnes questions et les bons outils sont définis et introduits.
 L’un des buts de cet exposé sera aussi de faire comprendre que cette approche est souple et conduit à une formule générale et simple dont on montrera l’optimalité en dimension finie. Une partie de ces travaux a été effectuée en collaboration avec Yannick Privat et Emmanuel Trélat.