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Jimmy Lamboley
Lundi 14 janvier 2019
Jimmy Lamboley (Université Paris Sorbonne)
Diagramme de Blaschke-Santalo et valeurs propres.
Résumé :
Etant données trois fonctionnelles de forme (fonction associant à un domaine de $\mathbbR^n$ un réel), on peut chercher à décrire toutes les inégalités possibles faisant intervenir ces trois fonctionnelles, pour une certaine classe de domaines. Cette étude passe par la recherche d’un diagramme dit de Blaschke-Santalo (voir ci-dessous dans un exemple). Ces questions ont été largement étudiées dans le cas de fonctionnelles géométriques et pour des domaines planaires, même s’il reste quelques problèmes ouverts. L’objectif est ici d’étendre cette étude à des fonctionnelles de type spectral ou EDP. Si on note $\lambda_1$ la première valeur propre du Laplacien avec condition de Dirichlet, $P$ le périmètre et $|\cdot|$ le volume, on est par exemple amené à étudier l’ensemble
$$\mathcalD :={(x,y), \exists\Omega\in\mathcalA, x=P(\Omega), y=\lambda_1(\Omega), |\Omega|=1$$
qui est le diagramme de Blaschke-Santalo du triplet $(P,\lamba_1,|\cdot|)$. La classe $\mathcalA$ peut désigner tantôt l’ensemble des ouverts de $\mathbbR^n$, ou l’ensemble des convexes de $\mathbbR^n$, ou encore l’ensemble des ouverts homéomorphes à une boule. On donnera une description complète de $\mathcalD$ dans le cas des ouverts, et des éléments de construction dans le cas des domaines convexes.
Ceci est un travail en cours avec Ilias Ftouhi.