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Guy David
Lundi 18 Mars 2019
Guy David (Université Paris-Sud)
Une variante du problème de frontière libre d’Alt, Caffarelli, et Friedman, avec plusieurs phases.
Résumé :
A cause d’un problème de localisation de fonctions propres, nous avons (avec Marcel Filoche, David Jerison, et Svitlana Mayboroda)
été amenés à étudier une variante de la fonctionnelle d’Alt, Caffarelli, et Friedman, où l’on cherche dans le domaine considéré des parties disjointes
$V_j$ et des fonctions $u_j$ nulles hors de $V_j$ et avec une dérivée dans $L^2$, et l’on minimise une fonctionnelle dont la partie principale est
$\sum_j \int_V_j q_j^2 + |\nabla u_j|^2$. On parlera de la régularité des solutions, et de la frontière libre (les bords des $V_j$). Donc la différence
principale avec le problème standard est qu’on autorise plus de deux domaines $V_j$, même si localement on finit par prouver qu’il n’y a pas de réelle
interface entre trois domaines. Des résultats du même type ont été obtenus (indépendamment et à la même époque) par Dorin Bucur et Bozhidar Velichkov.