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GT CalVa G CROCE
Lundi 20 février 2017
Gisella CROCE (Laboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre)
Sur l’inégalité isopérimétrique quantitative dans le plan
L’inégalité isopérimétrique établit que le disque maximise l’aire parmi tous les ensembles du plan de périmètre donné. Nous démontrerons un résultat le stabilité lié à cette inégalité : l’existence d’un ensemble, différent d’une boule, qui minimise le rapport entre le déficit isopérimétrique d’un ensemble et son asymétrie de Fraenkel. Cette dernière quantité est définie comme le minimum de l’aire de la différence symétrique entre $\Omega$ et un disque (de même aire que $\Omega$), divisée par l’aire de $\Omega$. Nous donnerons ainsi une nouvelle preuve de l’inégalité isopérimétrique quantitative, déjà étudiée dans [1, 2, 3]. Quelques propriétés de l’ensemble optimal seront aussi montrées.
Les résultats présentés ont été obtenus en collaboration avec C. Bianchini et A. Henrot.
Références
[1] M. Cicalese, G. P. Leonardi, Best constants for the isoperimetric inequality in quantitative form, J. Eur. Math. Soc. 15 (2013), 1101-1129.
[2] A. Figalli, F. Maggi, A. Pratelli, A mass transportation approach to quantitative isoperimetric inequalities, Invent. Math. 182 (2010), 167-211.
[3] N. Fusco, F. Maggi, A. Pratelli, The sharp quantitative isoperimetric inequality, Ann. of Math. 168 (2008), 941-980.