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GT CalVa D VICENTE
Lundi 24 avril 2017
David VICENTE (Université de Graz)
Un résultat de reconstruction exacte pour TV sous une contrainte de type EDP
Résumé : Cet exposé traite du problème suivant : comment reconstruire une fonction lorsque l’on sait que celle-ci est constante par morceaux et qu’elle est la solution d’une certaine EDP sans condition aux bords. Comme un opérateur différentiel sans condition aux bords n’est généralement pas inversible, ce problème est mal posé. Cependant, si nous supposons que la solution est à variation bornée, alors ce problème admet une solution unique qui est donnée par la minimisation de la variation totale parmi l’ensemble des solutions de cette EDP. Ceci est établi sous l’hypothèse que l’espace des sauts doit satisfaire une certaine condition géométrique et, afin de prouver que celle-ci n’est pas trop restrictive, nous démontrons qu’elle est satisfaite presque partout par rapport à l’orientation du domaine dans l’espace. La preuve de ces résultats nous ont conduit à généraliser la notion de front d’onde, classique au sens des espaces de Sobolev, à l’espace des fonctions à variation bornée. Enfin, pour illustrer leur intérêt pratique, nous montrerons qu’ils peuvent s’appliquer à une nouvelle technique d’imagerie par résonance magnétique, Quantitative Susceptibility Mapping, qui consiste en la résolution d’un problème inverse de ce type.
Ceci est un travail en collaboration avec Kristian Bredies, de l’Université de Graz (Autriche).