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Aurélie Fischer
Lundi 26 novembre 2018
Aurélie Fischer (Université Paris Diderot)
Sur les courbes principales avec contrainte de longueur.
Résumé :
Dans cet exposé, nous cherchons à construire une courbe paramétrée f minimisant sous contrainte de longueur la quantité E[d(X,f(t))^2], où X est une variable aléatoire.
Dans le contexte des probabilités et de l’apprentissage statistique, une telle courbe est appelée courbe principale contrainte (Kégl et al., 2000). Le problème peut également être vu comme une version du problème de distance moyenne étudié au sein de la communauté du calcul des variations et de l’optimisation de formes.
(Buttazzo and Stepanov (2003) ; Buttazzo et al. (2002)).
Nous nous intéresserons aux propriétés théoriques satisfaites par une courbe principale f :[0,1]->R^d, de longueur au plus L, associée à une loi de probabilité qui admet un moment d’ordre 2 et n’est pas à support dans l’image d’une courbe de longueur L. Via une discrétisation, nous montrons qu’une courbe optimale est de courbure finie et obtenons une équation d’Euler-Lagrange. L’équation peut notamment être utilisée pour démontrer l’injectivité d’une courbe optimale en dimension 2.
G. Buttazzo and E. Stepanov. Optimal transportation networks as free Dirichlet regions for the Monge-Kantorovich problem. Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., II(4):631 678, 2003.
G. Buttazzo, E. Oudet, and E. Stepanov. Optimal transportation problems with free Dirichlet regions. Progress in Nonlinear Di . Equations and their Applications, 51:41 65, 2002.
B. Kégl, A. Krzyzak, T. Linder, and K. Zeger. Learning and design of principal curves. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 22:281 297, 2000.