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Chiffres janvier 2014

 

Claire David : Recherche

 

 

Mon activité de recherche concerne la modélisation mathématique.

 

 

Mes premières années comme enseignant-chercheur ont été consacrées à la modélisation

de structures composites multicouches piézoélectriques, suite naturelle de mes

travaux de thèse.

Après ma mutation à l’UPMC, au Laboratoire de Modélisation en Mécanique,

j’ai été amenée à m’intéresser plus spécifiquement à l’étude des équations aux dérivées

partielles. Dans un premier temps, j’ai mis en place une méthode algébro-différentielle de

calcul du champ de déplacement approché d’un milieu élancé. Je me suis ensuite intéressée

plus particulièrement aux équations de la Mécanique des Fluides : équation de Burgers

(approche théorique et numérique), équation CBKDV, ondes solitaires, qui constituent

désormais le coeur de mon activité de recherche.

Pour chacune de ces thématiques, j’attache une grande importance à l’utilisation

du calcul formel (Mathematica) : matrices d’opérateurs différentiels, générateurs d’algèbres

de Lie, etc ...

Ce double aspect théorique/appliqué est le fruit de mon souci constant de

développer à la fois des recherches théoriques et des aspects applicatifs. Cette double

composante est pour moi nécessaire au développement d’une activité de recherche équilibrée,

qui vise à dégager les problèmes théoriques soulevés par les applications.

La sélection de mes thématiques de recherche est non seulement guidée par leur

intérêt scientifique théorique, leur potentiel de valorisation contractuelle, mais aussi par

le souci que j’attache au choix de thématiques porteuses.

Mes activités de recherche actuelles peuvent être regroupées suivant les thèmes

présentés ci-après :

 

  1.  Méthodes numériques avancées

Cette partie porte sur le développement de méthodes numériques efficaces pour la

simulation instationnaire de la turbulence. Si l’idée, intuitive, que l’erreur numérique doit

être aussi petite que possible pour assurer une bonne qualité des résultats, elle ne suffit

pas pour déterminer des méthodes numériques adaptées. Les expériences numériques accumulées ont en effet conduit la communauté des théoriciens et des praticiens de la

simulation à admettre que l’augmentation de l’ordre des schémas numériques ne conduit

pas toujours à l’amélioration des résultats obtenus, et que, dans certains cas, une dégradation

est observée. Par ailleurs, l’analyse est rendue plus compliquée par l’existence

d’effets de seuil sur l’erreur lors du raffinement du maillage de calcul. Mes recherches se

sont donc orientées vers l’analyse et la réduction de l’erreur numérique pour les méthodes

aux différences finies.

Mes recherches théoriques sur l’analyse de l’erreur numérique sont développées

suivant trois volets :

i. Optimisation théorique de schémas aux différences finies, par une méthode

matricielle 

Les schémas aux différences finies utilisés pour la résolution approchée d’équations

aux dérivées partielles linéaires conduisent à des erreurs numériques, dont le

comportement est, en général, difficilement prévisible. Le schéma optimal est en général

déterminé en testant les schémas retenus pour diverses valeurs du coefficient

cfl.

J’ai proposé une approche nouvelle et très différente, en montrant qu’un schéma

aux différences finies peut se ramener à une équation matricielle du type Sylvester

ou Riccati. L’étude intrinsèque des propriétés des matrices intervenantes permet

de déterminer la solution minimale, en norme, de l’erreur d’un schéma numérique

donné, pour lequel un ou plusieurs paramètres sont variables.

 

ii. Analyse, par une approche de type ondes résonantes, de la dynamique

non-linéaire de l’erreur numérique 

Par ce type d’approche, on met en évidence les phénomènes de type caustique.

L’analyse des divers paramètres permet, conjointement avec les résultats décrits au

paragraphe précédent, la mise en place de schémas DRP (Dispersive Relation Preserving).

 

iii. Analyse des brisures de symétries de la solution exacte par l’erreur

numérique au moyen de la théorie des groupes de Lie à 1 paramètre

(co-encadrement avec P. Sagaut de la thèse de E. Hoarau au LMM, liens avec A.

Hamdouni (LEPTAB, La Rochelle)).

Les équations différentielles qui régissent la mécanique des fluides possèdent des

symétries, qui ne sont pas, en général, préservées par des approximations aux différences

finies, conduisant ainsi à l’émergence d’une erreur additionnelle. L’analyse

du groupe de symétries des schémas aux différences finies usuels, fondée sur une

approximation différentielle, permet la construction de schémas " semi-invariants ".

La formalisation de cette catégorie de schémas numériques dits " intégrateurs "

géométriques, qui préservent les propriétés géométriques des équations aux dérivées

partielles, combinés avec d’autres critères " purement numériques " est destinée à

permettre la construction de schémas plus efficaces.

 

 

2. Ondes solitaires et équations d’évolution

→ Recherche de solutions, sous forme d’ondes solitaires hyperboliques, de

l’équation composée Burgers-Korteweg-de Vries, et, de façon plus générale,

à la détermination de solutions analytiques en "ondes solitaires"

→ Interaction avec les schémas numériques

Il s’agit ici d’étudier la stabilité structurelle de schémas aux différences finies

pour l’équation des ondes non linéaire :

dans un premier temps, on remplace le problème continu initial par une approximation

différentielle (ou équation équivalente, cf. les travaux de Y. L. Shokin) d’un

schéma aux différences finies, construite à partir d’un développement en série entière,

puis on recherche des solutions en "ondes solitaires". Il s’avère que des schémas

"classiques", comme le schéma de Lax, ou, encore, celui de Lax-Wendroff, admettent

des classes d’ondes solitaires solutions.

Ces résultats s’étendent aux schémas DRP (Dispersion Relation Preserving) : là

encore, on montre l’instabilité structurelle de ce type de schémas, qui admettent,

eux aussi, des classes d’ondes solitaires solutions.

Dernièrement, j’ai développé de nouveaux travaux montrant l’existence de lattice

solitary waves pour les schémas aux différences finies classiques, mais, aussi,

pour des schémas de type Galerkin discontinus : ces ondes solitaires "discrètes",

qui ne sont pas solutions du problème continu initial, apparaissent donc comme des

"solutions parasites" du schéma numérique, et sont, là encore, source d’instabilité. Je

suis en train d’étendre ces résultats en examinant les schémas Lattice Boltzmann.

 

 3. Décomposition en profils pour les équations de Navier-Stokes 

(en collaboration avec J. Y. Chemin)

On s’intéresse ici aux méthodes de décomposition en profils pour les équations de

Navier-Stokes, dans la lignée des travaux d’I. Gallagher, P. Gérard et H. Bahouri. Malgré le

défaut de compacité des injections des espaces de Sobolev homogènes dans les espaces de Lebesgue ces méthodes permettent d’obtenir des résultats de compacité par rapport aux données initiales des solutions.