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Méthode d’ordre optimal pour la simulation de particules rigides immergées

Dans cet exposé, nous présentons une méthode permettant de simuler le mouvement de particules rigides immergées dans un fluide de Stokes incompressible. On considère un domaine perforé dans lequel on veut résoudre les équations de Stokes incompressible sous la contrainte de mouvement rigide sur le bord des trous (qui représentent les particules rigides) avec une méthode d’éléments finis. Mailler de façon conforme à chaque pas de temps permet d’obtenir une erreur d’approximation d’ordre optimal mais peut devenir coûteux en 3D avec un grand nombre de particules et empêche l’utilisation de solveur rapide comme la FFT par exemple. A l’inverse une méthode de type domaine fictif permet d’avoir un maillage fixe mais suivant la méthode utilisée pour imposer la contrainte de mouvement rigide, on peut perdre l’ordre optimal de l’erreur en espace. C’est le cas avec une méthode de pénalisation ou de multiplicateur de Lagrange classique par exemple.
La méthode exposée est de type domaine fictif et permet d’avoir les avantages des méthodes précédentes : on utilise un maillage cartésien permettant d’utiliser des solveurs rapides tout en gardant l’ordre optimal sur l’erreur d’approximation. De plus, contrairement à la pénalisation, l’opérateur ne change pas au cours du temps ce qui permet d’effectuer des factorisations hors ligne de la matrice (LU par exemple) et de les utiliser durant la simulation.
Pour prendre en compte la contrainte de mouvement rigide, on cherche un prolongement régulier de la solution du problème de départ. Pour cela, on résout les équations de Stokes incompressible dans le domaine fictif avec un prolongement du terme source choisit de façon à obtenir la solution du problème de départ en prenant la restriction de la solution calculée sur le domaine perforé.
Tout le problème revient donc à trouver un tel prolongement du terme source. On le trouve en minimisant une fonction coût avec un algorithme de gradient conjugué. A chaque itération du gradient conjugué, il faut résoudre deux fois les équations de Stokes incompressible classique sur le domaine fictif. La matrice reste donc la même au cours du temps et correspond à la matrice d’un problème de Stokes classique sur un maillage cartésien, seul le terme source change.
Nous présentons donc la méthode en détails ainsi que l’algorithme utilisé pour résoudre le problème. Nous présenterons ensuite le code de calcul permettant d’obtenir les simulations numériques.