Bienvenue - Laboratoire Jacques-Louis Lions

Etudes de quelques problèmes inverses pour le système de Stokes. Application aux poumons - Anne-claire egloffe

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution de problèmes inverses
provenant d’une modélisation multi-échelle de l’écoulement de l’air dans les
poumons. Dans un premier temps, nous considérons une version simplifiée du modèle
de l’écoulement de l’air dans les poumons : l’écoulement est modélisé par les
équations de Stokes incompressibles avec des conditions aux limites de type Robin
sur une partie du bord. Nous cherchons à identifier le coefficient de Robin défini
sur une partie non accessible du bord à partir de mesures de la vitesse et de la
pression disponibles sur une autre partie du bord.

Après avoir quantifié des résultats de continuation unique pour le système de
Stokes, nous établissons deux inégalités de stabilité logarithmiques, l’une valable
en dimension 2 et l’autre valable en toute dimension. Toutes deux sont basées sur
des inégalités de Carleman, globale dans le premier cas et locales dans le second.
Les inégalités de stabilité sont d’abord montrées sur le problème stationnaire puis
la théorie des semi-groupes permet de passer au problème non stationnaire. De plus,
sous l’hypothèse a priori que le coefficient de Robin est constant par morceaux,
nous prouvons une inégalité de stabilité Lipschitzienne pour le problème
stationnaire. Nous concluons cette thèse en revenant au problème initial pour
lequel nous imposons des conditions au bord non-standard faisant intervenir le
flux. En particulier, nous obtenons des premiers résultats numériques encourageants
concernant l’identification de certains paramètres du modèle.