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Chiffres janvier 2022
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Séminaire du LJLL - 30 11 2018 14h00 : L. Baratchart
Laurent Baratchart (INRIA Sophia Antipolis)
Problèmes inverses de Poisson-Hodge pour les mesures : régularisation par variation totale et parcimonie
Résumé
Nous considérons le problème inverse consistant à reconstruire une mesure µ à valeurs dans R^3, dont le support est contenu dans un ensemble fermé connu S, connaissant une composante du champ ∇φ sur un fermé Q disjoint de S, lorsque le potentiel φ satisfait l’équation de Poisson-Hodge ∆φ = div µ. Ce genre de question apparaît typiquement en modélisation magnétostatique, par exemple pour la magnéto-encéphalographie ou en paléomagnétisme.
Nous considérons le problème régularisé consistant à minimiser par rapport à µ la quantité ||Aµ - f||^2_L^2(Q) + λ ||µ||_TV, où λ > 0 est un paramètre de régularisation, f représente la donnée, et A est l’opérateur « direct » associant à µ la composante du champ que l’on mesure, cependant que ||µ||_TV est la variation totale de µ.
On montre que si l’ensemble S est assez mince et si le support de µ est purement 1 non-rectifiable, ou bien encore si µ est unidirectionnelle, la reconstruction est possible, asymptotiquement en un sens que l’on précisera, lorsque λ tend vers zéro.
Ce résultat peut se voir comme une forme d’identification parcimonieuse en dimension infinie pour un filtre de noyau x/|x|^3.
Les résultats présentés sont basés sur un travail commun avec D. Hardin, C. Villalobos-Guillen, M. Northington et E. Saff.