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Séminaire du LJLL - 28 06 2019 14h00 : J. Lamboley
Jimmy Lamboley (Sorbonne Université, Paris)
Contrainte de convexité et diagramme de Blaschke-Santalo
Résumé
Dans la première partie de l’exposé, nous parlerons de la contrainte de convexité en calcul des variations et en optimisation de forme. La question est de minimiser une énergie dans une classe d’objets contraints à être convexes. Cette contrainte est assez particulière, entre autres elle « force » l’existence pour une très large classe d’énergies, mais l’analyse des solutions en devient difficile. Nous exposerons l’exemple historique de résistance minimale de Newton, qui se résume à la formulation suivante :
minimiser l’intégrale sur D de 1/(1+|Du|^2) pour u fonction concave de D dans [0,M],
et nous évoquerons des problèmes et des résultats plus récents obtenus en collaboration avec A. Novruzi et M. Pierre.
Dans la seconde partie de l’exposé, nous parlerons d’estimation de la première valeur propre du Laplacien-Dirichlet d’un domaine convexe du plan à partir de sa géométrie, notamment de son aire et de son périmètre. Une analyse détaillée de cette question passe par la détermination du diagramme dit de Blaschke-Santalo, à savoir ici l’ensemble des points (x, y) de R^2 tels qu’il existe Omega ouvert convexe de R^2 avec lambda_1(Omega) = x, P(Omega) = y et |Omega| = 1, où les trois fonctionnelles lambda_1(Omega), P(Omega) et |Omega| désignent respectivement la première valeur propre du Laplacien-Dirichlet, le périmètre et l’aire du domaine Omega. Nous donnerons une description numérique et analytique de ce diagramme. Ce travail est en collaboration avec I. Ftouhi.