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Séminaire du LJLL - 23 06 2017 14h00 : J. Casado-Diaz
Juan Casado-Diaz (Université de Séville)
Un problème de Dirichlet semilinéaire avec un terme source singulier en u=0 qui peut changer de signe
Résumé
Dans ce travail en collaboration avec François Murat, nous considérons une équation elliptique du deuxième ordre avec condition de Dirichlet homogène dont le terme source F(x,u) tend vers plus l’infini quand u tend vers zéro. Ce type de problème a fait l’objet de nombreux travaux quand le terme source est positif ; dans ce cas, s’il existe une solution, celle-ci est positive.
Pour ce type de problèmes, la notion de solution doit être précisée à cause de la singularité en u=0 ; nous utilisons ici une définition inspirée de celle introduite par D. Giachetti, P.J. Martinez-Aparicio et F. Murat.
Nous montrons d’une part que même si le terme source change de signe, il existe toujours une solution positive du problème ; cette solution est unique si le terme source est décroissant en u.
Nous montrons d’autre part que si F(x,u) ≥ c / |u| avec c>0 dans l’ensemble -d<u<0 pour un certain d, alors toutes les solutions du problème sont nécessairement positives. Ce n’est plus le cas si on a |F(x,u)| ≤ c (1 + 1 / |u|^q) avec 0<q<1, comme le montre un exemple en dimension un où nous explicitons toute une famille de solutions qui changent de signe.