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Séminaire du LJLL - 19 01 2018 14h00 : D. Peurichard
Diane Peurichard (Sorbonne Université, Paris)
Modélisation de réseaux dynamiques : passage des modèles agent-centrés aux EDPs
Résumé
Dans cet exposé nous étudions la dérivation de modèles macroscopiques et cinétiques (EDPs) à partir de modèles microscopiques (agents-centrés) pour des réseaux complexes de particules interconnectées. Le modèle agent-centré met en jeu des particules (disques) pouvant se lier ou se délier, aléatoirement en temps, avec leur proches voisines en créant des ressorts de longueur d’équilibre fixe. Nous dérivons formellement un modèle cinétique à partir de la dynamique microscopique et nous obtenons un système de deux équations : l’une pour la densité locale de particules individuelles et l’autre pour la densité de paires de particules liées. En passant à la limite grande échelle et sous certaines hypothèses d’échelle, nous obtenons une équation d’agrégation-diffusion, dont l’analyse de stabilité (linéaire et non linéaire) donne des critères précis pour les transitions de phases observées sur les états d’équilibre en fonction des paramètres du modèle. La comparaison numérique du modèle agent-centré avec le modèle macroscopique montre une très bonne correspondance entre les deux formulations, permettant de valider la dérivation formelle. Ce modèle est par la suite étendu au cas de deux espèces permettant d’étudier la formation d’agrégats cellulaires dans les systèmes biologiques.