Bienvenue - Laboratoire Jacques-Louis Lions

Patrick Ciarlet (Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées, Palaiseau)
Quelques résultats sur la résolution de problèmes avec des coefficients changeant de signe
Résumé
Dans cet exposé nous résumons des travaux menés conjointement avec Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, Lucas Chesnel, Camille Carvalho et Juan-Pablo Borthagaray sur la résolution d’équations aux dérivées partielles avec des coefficients réguliers par morceaux qui changent de signe sans passer par zéro.
En électromagnétisme, la réponse effective de certains matériaux manufacturés est modélisée par des coefficients négatifs : on les appelle les « matériaux négatifs ». Si ces matériaux sont entourés par des matériaux « classiques », le problème global de transmission à résoudre met en jeu des coefficients discontinus qui changent de signe. A titre d’exemple, soit σ un paramètre constant par morceaux, strictement positif de valeur σ^+ dans une partie du domaine de calcul, et strictement négatif de valeur σ^- dans le reste du domaine. On considère le problème scalaire suivant : trouver u tel que div σ ∇u - ω^2 u = f avec une condition aux limites homogène où f est la donnée et où ω est la pulsation.
Si l’on cherche une solution u de régularité H^1, on peut démontrer qu’il existe un intervalle critique tel que le problème satisfasse l’alternative de Fredholm (c’est-à-dire soit bien posé) si et seulement si le rapport σ^-/σ^+ n’appartient pas à cet intervalle critique. On peut également démontrer des résultats similaires pour le problème aux valeurs propres associé. Ces résultats sont obtenus à l’aide de l’approche dite de T-coercivité.
Du point de vue numérique (discrétisation par éléments finis) et lorsque le rapport σ^-/σ^+ n’appartient pas à l’intervalle critique, la forme de l’interface séparant les deux matériaux doit être prise en considération. Il existe des règles simples de maillage qui permettent de retrouver les erreurs de convergence usuelles quelle que soit l’interface lorsque celle-ci est polygonale. Ces règles reposent sur des transformations géométriques élémentaires d’une région du domaine en l’autre.
Enfin, lorsque le rapport σ^-/σ^+ appartient à l’intervalle critique, c’est-à-dire lorsque le problème n’est pas bien posé dans H^1, des solutions existent pour résoudre le problème dans un cadre fonctionnel différent.