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Séminaire du LJLL - 14 10 2016 14h00 : J. Droniou
Jérôme Droniou (Université Monash, Melbourne)
La méthode de discrétisation gradient
Résumé
Dans cet exposé, je souhaite parler de divers schémas numériques (S), comme les éléments finis conformes et non-conformes, les éléments finis mixtes, les volumes finis 2 points, les volumes finis multi-points, les volumes finis à dualité discrète, les différences finies mimétiques (nodales et hybrides), etc.
Je voudrais aussi parler d’un certain nombre de modèles (M) d’équations aux dérivées partielles, comme le modèle elliptique linéaire, les modèles de Leray-Lions (par exemple du type p-laplacien) d’évolution et stationnaires, le modèle de Richards, le modèle de Stefan, les équations de Stokes et de Navier-Stokes, etc.
Une manière de parvenir à couvrir tous ces schémas et modèles en un peu moins d’une heure est de parler extrêmement vite. Plutôt que de faire cela, je présenterai un cadre générique, méthode de discrétisation gradient (GDM, pour utiliser l’acronyme anglais le plus usuel), qui unifie l’analyse de tous ces schémas pour tous ces modèles.
La GDM consiste à sélectionner quelques éléments discrets (un espace, un opérateur de reconstruction de fonction, un opérateur de reconstruction de gradient), qui forment ensemble ce que l’on appelle une discrétisation gradient (GD), et à utiliser ceux-ci, en lieu et place des espaces et opérateurs continus, dans la formulation faible du modèle considéré. Cette substitution fournit un schéma, appelé schéma gradient (GS), pour le modèle.
Sous quelques propriétés (P) (3 pour les modèles linéaires, 4 ou 5 pour la plupart des modèles non linéaires) sur la GD, on peut prouver que le GS correspondant converge pour tous les modèles dans (M). Ces propriétés sont indépendantes du modèle spécifique considéré. De plus, tous les schémas dans (S) sont des GS, pour des GD bien choisies dont on peut prouver aisément, à l’aide d’outils généraux d’analyse fonctionnelle discrète, qu’elles satisfont les propriétés (P). En conséquence, l’analyse basée sur la GDM montre que tous les schémas (S) convergent pour tous les modèles (M).
Je conclurai l’exposé par une présentation rapide de deux résultats originaux établis à l’aide de la GDM : un résultat de convergence uniforme en temps de schémas numériques pour des équations paraboliques dégénérées (sans hypothèse de régularité sur la solution), et le premier résultat de super-convergence du schéma volume finis 2 points, populaire dans les milieux pétroliers.