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Chiffres mars 2019
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Séminaire du LJLL - 13 11 2020 14h00 : H. Bahouri
Hajer Bahouri (Sorbonne Université, Paris)
Sur l’équation de Schrödinger non linéaire cubique avec dérivée
Résumé
Dans ce travail en collaboration avec Galina Perelman, nous nous sommes intéressées à la question de l’existence globale pour l’équation de Schrödinger non linéaire cubique avec dérivée sur la droite réelle. Cette équation, dite DNLS, est apparue dans les années 1980 dans l’étude des régimes asymptotiques de la propagation des ondes d’Alfvén dans des plasmas magnétisés. La question de l’existence locale pour cette équation est bien comprise depuis deux décennies dans l’échelle des espaces de Sobolev : l’équation est localement bien posée dans H^s pour s ≥ 1/2. Par contre, la question de l’existence globale n’était pas complètement réglée : les meilleurs résultats connus à ce jour concernaient ou bien des données de Cauchy dans H^1/2 avec une masse strictement inférieure à 4 π, ou bien des données générales dans l’espace de Sobolev à poids H^(2, 2). Dans ce travail, en alliant les techniques de décomposition en profils avec la structure intégrable de l’équation, nous avons établi l’existence globale pour toute donnée dans H^1/2, ce qui résout le problème dans l’échelle des espaces de Sobolev, puisqu’il est bien connu que l’équation DNLS est mal posée dans H^s si s < 1/2.