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Séminaire du LJLL - 12 05 2017 14h00 : D. Bresch
Didier Bresch (Université Savoie Mont Blanc)
Equations compressibles de Navier-Stokes et solutions faibles
Résumé
Les équations de Navier-Stokes constituent un modèle mathématique de base pour décrire le mouvement d’un fluide. Dans son célèbre article « Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace » publié dans Acta Mathematica en 1934, Jean Leray (1906-1998) introduit (entre autres) le concept de solutions faibles globales en temps en donnant une définition précise de ce qu’est une solution irrégulière du système, et montre qu’il existe une telle solution faible pour les équations de Navier-Stokes dans leur version incompressible et homogène (densité constante). On appelle maintenant « solutions à la Leray » ces solutions d’énergie finie. Même si l’existence globale de solutions faibles apporte assez peu sur le caractère bien posé du système, une telle analyse a de nombreux intérêts pratiques. En plus de la signification physique, car la régularité supposée sur les données initiales est minimale et fortement liée à des quantités physiques bien identifiées, les propriétés de stabilité des solutions faibles du modèle continu aident à mieux comprendre comment construire des schémas numériques stables qui le plus souvent ne préservent pas les estimations de régularité forte.
Nous commencerons cet exposé en rappelant l’état de l’art sur les solutions à la Leray pour les équations incompressibles homogènes de Navier-Stokes (J. Leray), puis pour les équations incompressibles non-homogènes de Navier-Stokes (A. Kazhikhov, J. Simon et P.-L. Lions), pour finir par les équations compressibles de Navier-Stokes avec viscosités constantes (P.-L. Lions, E. Feireisl et al.). Nous montrerons ensuite qu’il est possible, grâce à un travail réalisé en collaboration avec Pierre-Emmanuel Jabin (Université du Maryland), de considérer des lois de pression thermo-dynamiquement instables et de l’anisotropie dans les viscosités ; auparavant un tel cadre échappait totalement à la théorie.