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Chiffres janvier 2022
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Séminaire du LJLL - 09 12 2016 14h00 : F. Dickstein
Flavio Dickstein (Université Fédérale de Rio de Janeiro)
Des solutions d’une équation de la chaleur non linéaire qui changent de signe alors que les données initiales sont positives
Résumé
Nous considérons le problème de Cauchy (local en t > 0 et pour tout x dans R^N) pour l’équation de la chaleur non linéaire partial_t u = Delta u + |u|^alpha u où alpha > 0 et où (N - 2) alpha < 4. On sait que ce problème est bien posé dans certains espaces, et mal posé dans d’autres. Par exemple, on sait qu’il existe une infinité de solutions (en un sens raisonnable) pour la donnée initiale u(0) = 0.
Le cas de la donnée initiale u(0) = mu |x|^(- 2 / alpha) où mu est réel est particulièrement intéressant. Pour mu > 0 petit, il existe une solution locale positive, alors que pour mu > 0 grand, le problème n’admet aucune solution locale positive. Nous montrons que pour tout mu il existe une infinité de solutions auto-similaires radiales du problème ; ces solutions peuvent être indexées par le nombre de leurs zéros, qui est indépendant de t > 0.
Ces résultats ont été obtenus en collaboration avec T. Cazenave (Paris VI), I. Naumkin (Nice) et F. Weissler (Paris XIII).