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Séminaire du LJLL - 08 11 2019 14h00 : C. Burtea
Cosmin Burtea (Université de Paris)
Ecoulements compressibles anisotropes à faible nombre de Reynolds
Résumé
L’étude mathématique du problème de Cauchy associé au système de Navier-Stokes qui régit l’évolution d’un fluide non homogène compressible a commencé à la fin des années 1960 avec les travaux de l’école russe. En dimension 1 d’espace, on peut citer les résultats de Ya.I. Kanel, A.V. Kazhikhov et V.V. Shelukhin, ainsi que les contributions de D. Serre et D. Hoff. Le cas multidimensionnel s’est avéré beaucoup plus subtil et il a fallu attendre 1998, date à laquelle P.-L. Lions a publié sa célèbre monographie, pour avoir des solutions « à la Leray » pour les fluides compressibles. Mais la démonstration utilise de manière cruciale la structure algébrique du système et ne permet pas de couvrir certaines configurations physiquement pertinentes comme, par exemple, une viscosité anisotrope ou le cas d’une pression non monotone. Le premier résultat couvrant ces deux cas a été obtenu par D. Bresch et P.-E. Jabin qui en 2018 ont construit un nouveau critère de compacité. Cependant le résultat obtenu impose des restrictions sur la « quantité d’anisotropie » que l’on peut considérer, sauf si l’on joue sur la taille de la viscosité de compression (en anglais « bulk viscosity »).
Dans de nombreuses situations (milieux poreux, écoulements sanguins, etc.) où les forces d’inertie sont négligeables (faible nombre de Reynolds), on peut négliger la partie convective et obtenir un modèle simplifié qui conserve cependant les principales difficultés mathématiques du système général.
Après une présentation des principales étapes de la démonstration de P.-L. Lions et des raisons pour laquelle elle ne s’adapte pas au cas des viscosités anisotropes, je donnerai une démonstration très simple de l’existence de solutions pour ce système simplifié. J’expliquerai en outre comment adapter la démonstration pour couvrir le cas de viscosités plus exotiques. Il s’agit là d’un travail en collaboration avec D. Bresch.