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Séminaire du LJLL - 07 10 2016 14h00 : A. de Bouard
Anne de Bouard (Ecole Polytechnique, Palaiseau)
Solutions globales et convergence à l’équilibre pour un modèle de condensat à température finie
Résumé
Depuis les premières réalisations expérimentales de condensats il y a maintenant plus de vingt ans, l’étude des systèmes d’atomes froids a connu une véritable explosion dans la communauté des physiciens théoriciens. L’évolution d’un condensat est classiquement décrite par une fonction d’onde macroscopique qui vérifie, à température nulle, l’équation de Gross-Pitaevskii, qui n’est autre qu’une équation de Schrödinger non linéaire à laquelle on ajoute généralement un potentiel (par exemple harmonique) décrivant le confinement des atomes.
Le développement de modèles décrivant la dynamique hors équilibre des condensats à température finie est plus récent ; ainsi un modèle apparu en 2008 décrit les états (très peuplés) de basse énergie des atomes à l’aide d’un champ classique couplé à un bain d’atomes hautement excités proches de l’équilibre thermique. Ce modèle, connu des physiciens sous le nom de "Stochastic projected Gross-Pitaevskii equation" a notamment permis d’illustrer des phénomènes tels que la génération spontanée de vortex, ainsi que des phénomènes de transition de phase.
On décrira dans cet exposé quelques résultats mathématiques concernant la version en dimension infinie de ce modèle, qui est donc une EDP stochastique. On expliquera en particulier comment donner un sens raisonnable à la mesure de Gibbs, et comment à l’aide de celle-ci on obtient des solutions globales. On montrera également la convergence à l’équilibre pour le semi-groupe de transition.