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Séminaire du LJLL - 06 12 2019 14h00 : J.-Y. Chemin
Jean-Yves Chemin (Sorbonne Université, Paris)
Espace des fréquences sur le groupe d’Heisenberg
Résumé
Il est connu depuis fort longtemps que la transformation de Fourier d’une fonction intégrable sur R^n est une fonction continue nulle à l’infini sur l’espace des fréquences qui, dans ce cas, peut être identifié à R^n lui-même.
Le but de cet exposé est d’établir un résultat du même type dans le cadre des fonctions intégrables sur les groupes d’Heisenberg. Nous expliquerons brièvement les raisons d’étudier ces groupes. Nous nous limiterons dans cet exposé au cas du groupe H = R^3 muni de la loi
(x,\xi,s) . (x’,\xi’,s’) = (x+x’,\xi+\xi’, s+s’+2(\xi x’-\xi’ x)).
Nous définirons la mesure invariante (qui est la mesure de Lebesgue sur R^3), les champs de vecteurs invariants par translation à gauche (qui sont l’équivalent des champs de vecteurs à coefficients constants dans l’espace R^3 usuel) et verrons les problèmes que pose la définition de la transformation de Fourier en tant que fonction. La principale difficulté est de trouver l’espace des fréquences qui apparaîtra comme le complété de N x N x (R \ 0) pour une distance que nous expliciterons.
Ceci est le fruit d’un travail en collaboration avec Hajer Bahouri et Raphaël Danchin.