Bienvenue - Laboratoire Jacques-Louis Lions

Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia (Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées, Palaiseau)
De nouvelles idées pour la résolution des problèmes de diffraction, combinant décomposition de domaine, opérateurs intégraux et dilatation analytique
Résumé
Il existe de nombreuses approches pour calculer la diffraction d’une onde par un obstacle borné dans un milieu infini homogène. On peut en particulier utiliser une méthode d’équations intégrales ou borner le domaine de calcul par des PMLs (Perfectly Matched Layers). Mais ces méthodes deviennent inefficaces, ou même inutilisables, lorsque le milieu environnant l’obstacle est complexe (hétérogène et/ou anisotrope), surtout si l’on s’intéresse à des modèles d’ondes vectoriels, c’est-à-dire à des ondes élastiques ou électromagnétiques. Ainsi par exemple, la méthode des PMLs fournit une solution erronée dans certains milieux élastiques stratifiés. Quant aux équations intégrales, elles nécessitent le calcul préalable du tenseur de Green dont le coût peut devenir prohibitif.
Nous développons au sein de l’équipe POEMS (Propagation des Ondes, Etude Mathématique et Simulation) des solutions alternatives aux méthodes usuelles, avec l’ambition de réunir les avantages des équations intégrales et des PMLs. La première idée est d’exploiter des représentations analytiques par sous-domaine, mais ceci conduit à un système d’équations intégrales posées sur les frontières infinies des sous-domaines. La seconde idée consiste à utiliser la dilatation analytique (sous-jacente aux PMLs) pour borner ces frontières infinies.
Pour le problème scalaire modèle, nous sommes capables de montrer que la formulation obtenue est de type Fredholm dans un espace L^2, et nous pouvons établir diverses estimations d’erreur. Dans des cas plus complexes, la méthode numérique fonctionne de façon très encourageante, mais il reste de nombreuses questions théoriques à examiner.