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Bienvenue - Laboratoire Jacques-Louis Lions

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Key figures

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189 people work at LJLL

90 permanent staff

82 researchers and permanent lecturers

8 engineers, technicians and administrative staff

99 non-permanent staff

73 Phd students

14 Post-doc and ATER

12 emeritus scholars and external collaborators

 

Figures : March 2019

 

GdT CalVa V. Bonnaillie

Lundi 7 décembre 2015

 

Virginie Bonnaillie-Noël (ENS Paris)

Autour des partitions spectrales minimales

Résumé : Pour chaque $k$-partition (D_1, …, D_k) d’un domaine, on peut lui associer une énergie comme étant le maximum des premières valeurs propres du Laplacien avec conditions de Dirichlet sur chaque des domaines $D_j$ :
$$\sup{ |ambda_1(D_j), 1\leq j\leq k}.$$
Le problème d’optimisation consiste alors à déterminer la partition qui minimise cette énergie.
Lorsque $k=2$, on peut montrer que l’énergie minimale est égale à la deuxième valeur propre et que toute partition nodale du vecteur propre associé donne une partition minimale.
Dès que $k\geq 3$, la situation est bien différente et pour des géométries telles que le carré ou le disque, les résultats ne sont pas démontrés. Il y a néanmoins quelques résultats qui permettent de discriminer si une partition nodale est optimale.
Au lieu de considérer la norme infinie, on peut considérer la norme $p$, (ce qui revient à considérer la somme des valeurs propres lorsque $p=1$). Dans ce cas, l’approche spectrale n’est plus valable.
Dans cet exposé, nous commencerons par rappeler les principaux résultats pour la norme infinie. Nous présenterons ensuite des simulations numériques pour la norme $p$ et verrons l’évolution des partitions minimales candidates lorsque $p$ augmente.
Cet exposé résulte de collaborations avec B. Bogosel, B. Helffer, C. Léna, G. Vial.

Mise à jour effectuée par
C.David - 26/10/17