Bienvenue - Laboratoire Jacques-Louis Lions

Lundi 7 décembre 2015

Virginie Bonnaillie-Noël (ENS Paris)

Autour des partitions spectrales minimales

Résumé : Pour chaque $k$-partition (D_1, …, D_k) d’un domaine, on peut lui associer une énergie comme étant le maximum des premières valeurs propres du Laplacien avec conditions de Dirichlet sur chaque des domaines $D_j$ :
$$\sup{ |ambda_1(D_j), 1\leq j\leq k}.$$
Le problème d’optimisation consiste alors à déterminer la partition qui minimise cette énergie.
Lorsque $k=2$, on peut montrer que l’énergie minimale est égale à la deuxième valeur propre et que toute partition nodale du vecteur propre associé donne une partition minimale.
Dès que $k\geq 3$, la situation est bien différente et pour des géométries telles que le carré ou le disque, les résultats ne sont pas démontrés. Il y a néanmoins quelques résultats qui permettent de discriminer si une partition nodale est optimale.
Au lieu de considérer la norme infinie, on peut considérer la norme $p$, (ce qui revient à considérer la somme des valeurs propres lorsque $p=1$). Dans ce cas, l’approche spectrale n’est plus valable.
Dans cet exposé, nous commencerons par rappeler les principaux résultats pour la norme infinie. Nous présenterons ensuite des simulations numériques pour la norme $p$ et verrons l’évolution des partitions minimales candidates lorsque $p$ augmente.
Cet exposé résulte de collaborations avec B. Bogosel, B. Helffer, C. Léna, G. Vial.