4M005
Enseignants Amphis Chargés de TD
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Présentation du cours

Le cours aborde l'analyse fonctionnelle de base dans son ensemble. Un accent particulier est mis sur l'étude de la dualité et ainsi que l'étude d'exemples d'espaces fonctionnels. L'objectif final est d'aborder quelques résultats de base d'équations aux dérivées partielles comme la résolution du problème de Dirichlet dans un domaine borné, le calcul de la solution fondamentale du Laplacien en dimension 3 ou bien la résolution de l'équation de Schrödinger.

Les prérequis sont la maîtrise de l'algèbre linéaire élémentaire ainsi que les connaissances d'analyse fondamentale de la licence, à savoir les théorèmes de base de la théorie de l'intégration ainsi qu'une familiarité minimales avec les concepts et les résultats de base en topologie générale.

Plus précisément, les thèmes abordés sont : les espaces métriques, les espaces de Banach, le cas particulier des espaces de Banach de fonctions continues, la dualité, les espaces de Hilbert, les espaces de fonctions de puissance p ième intégrable, la résolution du problème de Dirichlet, les distributions tempérées et les espaces de Sobolev dans le cas de la dimension 1.

Mardi 11 septembre.
Après une présentation générale du cours, cette première séance cours a été consacrée aux espaces métriques généraux ainsi qu'aux notions de suites convergentes et de fonctions continues dans ce cadre.
Mercredi 12 septembre.
Cette séance a été consacrée à la poursuite de l’étude des propriétés fondamentales des espaces métriques avec notamment l’introduction de la notion d'espaces complets. Le théorème de point fixe de Picard a ensuite été démontré et le théorème de Baire énoncé.
Mardi 18 et Mercredi 19 septembre.
Ces deux séances ont été consacrées à la poursuite de l'étude des espaces métriques jusqu’à l'énoncé du théorème 1.3.4 de la caractérisation des espaces compacts via les recouvrements d’ouverts quelconques.
Mardi 25 septembre.
Lors de cette séance, nous avons abordé l'études des espaces de Banach.
Mercredi 26 septembre.
Nous avons poursuivi l'étude des espaces de Banach, avons notamment démontré que les éléments inversibles de L(E) forment un ouvert. Enfin nous avons énoncé le théorème 2.3.1 page 38 sur la dimension finie et avons démontré que si la sphère unité était compact, alors la dimension était finie.
Mardi 2 et mercredi 3 octobre.

Après avoir conclu la preuve de l’équivalence entre la dimension finie d’un espace vectoriel normé et la compacité de la boule unité fermée, nous avons donné plusieurs outils et introduit plusieurs notions, pour compenser ce manque de compacité, dans le cas d’espaces vectoriels normés de dimension infinie. Pour ceci, on s’est d’abord concentré sur l’espace des fonctions continues C(X,R) définies sur un compact X. Nous avons, avec l’énoncé et la preuve du théorème d'Ascoli, donné un critère suffisant pour qu’un sous ensemble de C(X,R) soit compact. Ensuite, nous nous sommes posé la question de savoir si, malgré le manque de compacité, C(X,R) peut être décrit par des ensembles denses qui sont plus simples. La réponse à cette question a été apportée par l’énoncé et la preuve du théorème de Bernstein ainsi que par l’énoncé du théorème de Stone-Weierstrass.

Ensuite, toujours dans l’optique de pouvoir apporter une description plus simple des e.v normés de dimension infinie, nous nous sommes concentrés sur le fait de savoir si certains de ces espaces étaient séparable, c’est-à-dire, si ils pouvaient être décrit à l’aide d’un ensemble dense dénombrable. Nous avons donc rappelé les principales propriétés des ensembles dénombrables et nous avons donné une condition suffisante pour qu’un e.v normé soit séparable et une condition suffisante pour qu’il ne soit pas séparable. Nous avons conclu ce chapitre en montrant que l’ensemble des suites bornées muni de la norme sup n’est pas séparable.

Nous avons conclu la séance par une présentation sur la dualité. Un des objectifs majeurs de ce chapitre sera de définir des topologies plus faibles, tout en étant judicieuses, qui rendront les boules unités fermés de certains e.v de dimension infinie compact.

Mardi 9 et mercredi 10 octobre.
L’objectif de ces deux cours a été d’introduire une notion de convergence plus faible pour certains espaces vectoriels normés, appelée convergence faible *. Un des intérêts majeurs est que, pour cette convergence, dans un espace séparable, la boule unité fermée est « compacte », dans le sens où, de toute suite bornée, on peut en extraire une sous suite convergente. Pour ceci, nous avons, dans un premier temps, introduit la notion de convergence faible *. Celle-ci se définit uniquement sur des espaces particuliers E’ : E’ doit être l’ensemble des formes linéaires continues sur E, où E est un e.v.n. On dit alors que E’ est le dual de E. Dans la mesure, où nous souhaitons avoir une notion de convergence plus faible pour des espaces F de façon la plus générale possible, nous nous sommes posés la question de savoir comment et quand il est possible d’identifier un e.v.n F avec un espace dual E’. L’objectif, étant, par identification, d’associer à F une topologie faible *, via la topologie faible * définie sur E’, même si F n’est lui même pas priori défini comme le dual d’un e.v.n. En application, nous avons montré que le dual de l’espace des suites de puissance pième sommables avec p fini, s’identifie avec l'espace de suites de puissance qième sommables avec 1/q+1/p=1. Cela nous a ainsi permis, par identification, de définir la convergence faible * sur l’espace des suites de puissance qième sommables avec q>1. La dernière partie du cours a consisté en l’énoncé et la preuve de plusieurs propriétés reliées à la convergence faible *. En particulier, on a montré le théorème de Banach-Stainhaus qui implique que, si E est un Banach et que si l’on a convergence faible * d’une suite de E’, alors celle-ci est forcément bornée. Enfin, dans le cadre d’un e.v.n séparable, on a montré que de toute suite bornée de E’, on peut en extraire une sous suite qui converge faible *.
Mardi 16 octobre.
Lors de cette séance, nous avons abordé le chapitre sur les espaces de Hilbert et avons établi le théorème de projection sur un convexe fermé et en avons donné des cons\'equences sur la notion de supplémentaire.
Mercredi 17 octobre.
Lors de cette séance, nous avons poursuivi l'étude des espaces de Hilbert, notamment démontré l'existence de bases hilbertiennes lorsque l'espace est séparable, démontré le théorème de représentation de Riesz et défini la notion d'opérateur adjoint.
Liste des questions de cours pour l'examen (énoncés des résultats et démonstrations) qui seront exigées lors de l'examen du jeudi 10 janvier :

-- Théorème de point fixe de Picard (Théorème 1.2.1 page 15),

-- Théorème de Heine (Théorème 1.3.3 page 23 et 24) et son corollaire sur les fonctions à valeurs réelles (Corollaire 1.3.2 page 24),

-- Proposition 2.1.3. page 29 et 30 (Complétude de l'ensemble des fonctions bornées à valeurs dans un Banach et des fonctions continues bornées à valeurs dans un Banach),

-- Théorème 2.2.2. page 35 et 36 relatif aux inversibles au voisinage de Id, avec, bien sûr, la preuve de la Proposition 2.2.3.

-- Théorème de Banach-Steinhaus (Théorème 3.3.2 page 55 et 56 avec bien sûr le lemme 3.3.1),

-- Théorème de projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert (Théorème 4.2.2 page 66 et 67).

LA LISTE S'ARRETE LA POUR LE MODULE 4M105

-- Lemme 5.2.2. page 88 et sa démonstration page 89 et 90.

-- Proposition 6.2.1 page 112).

-- Théorème d'inversion de Fourier et de Fourier-Plancherel (Théorème 7.2.1 page 121 et 122).

-- La dérivation du logarithme (Proposition 8.2.3 page 134 et 135).