LRC
Manon
Laboratoire de recherche conventionné
Modélisation et approximation numérique
orientées pour l'énergie nucléaire
LJLL
CEA
UPMC
CNRS

Méthodes récentes pour la résolution de systèmes linéaires et non linéaires
dans le contexte du calcul haute performance

Vendredi 29 mars, INSTN, CEA Saclay



Pour se rendre à l'INSTN, il est possible de prendre la navette CEA à la station RER Le Guichet (plan) jusqu'au poste de garde 306, qui est à l'entrée de l'INSTN. Les horaires de la navette CEA sont disponibles dans ce fichier PDF.
La page recense les différents moyens d'accès pour les autres moyens de locomotion.

Programme de la journée


Liste des orateurs, titres et résumés

Vincent Bergeaud (CEA, DM2S, STMF, LGLS)
Résolution des systèmes linéaires dans le domaine de la thermohydraulique des réacteurs nucléaires : un état des lieux
Résumé. Le noyau Trio-U est une bibliothèque fournissant des services qui permettent l’implémentation de schémas numériques pour des maillages non structurés sur des architectures massivement parallèles. La recherche d’efficacité pour la résolution parallèle de systèmes linéaires est bien évidemment un enjeu central pour permettre des calculs sur des maillages de grande taille.
Cet exposé présentera les bibliothèques utilisées pour ces résolutions de systèmes et présentera des stratégies de définition des choix de préconditionnement des matrices. Par ailleurs, les expérimentations menées au LGLS sur l’utilisation des GPUs pour l’accélération de ces méthodes de résolution seront présentées.

Christophe Calvin (CEA, DM2S)
Méthodes de Krylov pour les problèmes de recherche de valeurs propres adaptés au petascale
Résumé. La recherche de valeurs propres est très présente dans de nombreux domaines du calcul scientifique ou des problèmes liés à la fouille de données. Avec la résolution de systèmes linéaires, ces noyaux de calcul sont très représentatifs des problèmes algorithmiques et numériques auxquels il convient de s’intéresser pour obtenir des bonnes performances sur les supercalculateurs actuels et futurs. Les nouvelles architectures de calcul qui ont vue le jour ces dernières années ont complexifié le problème pour obtenir des algorithmes efficaces du fait de l’augmentation des hiérarchies mémoires (caches, mémoire partagée, mémoire distribuée, mémoire hétérogène...) et des hiérarchies des unités de calcul (multi-cœurs, multi-processeurs, accélérateurs...). Il est donc nécessaire de proposer de nouvelles classes d’algorithmes et de méthodes numériques qui permettent d’obtenir de bonnes performances sur ces nouvelles architectures. Nous présenterons au cours de cet exposé les dernières recherches effectuées, en collaboration avec le CNRS et le LBNL, sur des algorithmes de recherche de valeurs propres basés sur des méthodes de Krylov adaptés au calcul pétascale et au-delà. Nous décrirons les voies utilisées pour passer à l’échelle (co-méthodes, auto et smart-tuning, programmation efficace d’architectures hétérogènes...) ainsi que des résultats de performances. Nous conclurons sur les recherches en cours et les perspectives aux travaux menés.

Xavier Claeys (UPMC, LJLL)
Préconditionnement opérateur pour les formulations intégrales en propagation d'ondes
Résumé. Pour la simulation de la propagation d'ondes, la méthode des éléments finis de bord consiste à discrétiser des formulations intégrales du champs posées uniquement sur le bord du domaine de calcul, ce qui a pour effet de diminuer drastiquement la dimension des systèmes linéaires obtenus après discrétisation. Cette approche offrant un très bon compromis en termes de précision/coût de calcul/stockage, elle est maintenant très répandue. Ce type de méthode induit cependant des systèmes linéaires denses pour lesquels il devient souvent incontournable d'utiliser un solveur itératif. Les matrices de ces formulations étant en général de surcroît mal conditionnées, il est donc crucial de mettre au point des préconditionneurs efficaces.
Dans cet exposé nous présenterons la méthode du précondionnement opérateur, devenue très populaire dans le contexte des équations intégrales. Ce type de préconditionnement n'étant pas encore applicable dans tous les cas de figure en termes de géométrie des objets diffractant, nous conclurons l'exposé par des résultats récents qui ont permis d'adapter cette approche à des problèmes de diffraction par des objets composites complexes.

Laura Grigori (INRIA Paris-Rocquencourt, LJLL)
Minimiser les communications dans des opérations en algèbre linéaire
Résumé. The cost of moving data in an algorithm can surpass by several orders of magnitude the cost of performing arithmetics, and this gap has been steadily and exponentially growing over time. This talk will argue that this communication problem needs to be addressed by the numerical software community directly at the mathematical formulation and the algorithmic design level. This requires a paradigm shift in the way the numerical algorithms are devised, which now need to aim at keeping the number of communication instances to a minimum, while retaining their numerical efficiency. Communication avoiding algorithms provide such a novel perspective on designing algorithms that provably minimize communication in numerical linear algebra. The novel numerical schemes employed, the speedups obtained with respect to conventional algorithms, as well as their impact on applications in computational science will be also discussed.

Jean-Marc Martinez ((CEA, DM2S, STMF, LGLS)
Problèmes numériques lors de la construction d’un modèle de krigeage par processus gaussien
Résumé. En simulation numérique, une des méthodes pour réduire les temps de calcul consiste à construire des méta-modèles, modèles de substitution des codes de calcul. Ces modèles sont construits à partir d’un ensemble de calculs. Le krigegage par processus gaussien consiste à postuler les calculs obtenus comme réalisations d’un processus gaussien dont on fixe a priori la structure paramétrique de la moyenne et de la covariance. Leurs paramètres sont en général estimés par maximum de vraisemblance. L’estimation fait alors appel aux fonctionnalités classiques d’algèbre linéaire sur des matrices symétriques définies positives, pleines en général et dans certains cas mal conditionnées. On se propose donc de présenter la méthode de la construction d’un modèle de krigeage par processus gaussien de façon à identifier et localiser les problèmes numériques lors de l’estimation des paramètres par maximum de vraisemblance.

Frédéric Nataf (CNRS, LJLL)
Espaces grossiers adaptatifs pour les méthodes de décomposition de domaines à deux niveaux
Résumé. Les espaces grossiers sont un ingrédient important pour obtenir des méthodes de décomposition de domaine extensibles ("scalable" en anglais). Notre construction s'adapte automatiquement aux hétérogénéités éventuellement très fortes du problème et à la partition en sous-domaines obtenue par un algorithme de découpage de type Metis ou Scotch. Elle permet aussi un contrôle théorique du conditionnement. Son efficacité est montrée à l'aide des exemples numériques sur des problèmes très hétérogènes pour des problèmes jusqu'à plusieurs milliards d'inconnues.

Christian Rey (ENS Cachan)
Influence des conditions de transmission aux interfaces pour les méthodes de décomposition de domaine
en mécanique non linéaire

Résumé. Non-overlapping domain decomposition methods have been widely studied in last decade. In the linear case, such approaches have given rise to robust and efficient iterative linear solvers. In nonlinear cases various strategies might be adopted. The standard one consists in using DDM as linear solvers in combination with a nonlinear solver (typically Newton). Nonetheless, such “trivial” association does not take into account the nonlinearities from the domain decomposition point of view. In particular it does not change the convergence of the nonlinear solver. In this talk, we will present non-overlapping domain decomposition algorithms dedicated to nonlinear problems. The treatment of interface conditions (Dirichlet, Neumann, Robin) leads to a rich zoology of nonlinear domain decomposition algorithms. Such algorithms involve the resolution of independent local (per sub-domain) nonlinear problems and the resolution of global (interface) linear problems. The key role played by the treatment of interface conditions will be outlined. Numerical results will be presented on various nonlinear problems coming from solids mechanics (material nonlinearities such as damage or plasticity; geometric nonlinearities such as buckling) from the modelling of flow in unsaturated porous media (richards equations).

Martin Vohralik (INRIA Paris-Rocquencourt)
Contrôle d’erreur numérique a posteriori et critères d’arrêt pour des solveurs linéaires et non linéaires
Résumé. In this talk we present some recent results of the theory of a posteriori error estimation. We first consider a model steady nonlinear monotone problem. We show how the numerical approximation error can be bounded by a fully computable a posteriori estimate; our estimate is robust, i.e., of the same quality independently of the size of the nonlinearity. Moreover, our estimate allows to identify the different error components, namely the linearization error, the error in algebraic solution of the associated linear systems, and the discretization error. This gives rise to an adaptive inexact Newton method with a posteriori stopping criteria for the linear and nonlinear solvers. In the second part of the talk, this methodology will be applied to a two-phase flow in porous media described by a system of unsteady nonlinear degenerate equations. The obtained results allow to certify the error in numerical simulations and simultaneously to obtain substantial economies (sometimes by more than one order) of the number of total iterations and consequently of the calculation time.

Organisateurs

Laura Grigori, Frédéric Nataf, Jacques Segré et Nicolas Seguin