Algèbre linéaire numérique

Cours et exercices

par G. Allaire & S. M. Kaber


Ce livre est le produit de notes de cours, de travaux dirigés (TD) et travaux pratiques (TP) d'analyse numérique enseignés par les auteurs principalement à l'Université Pierre et Marie Curie (Paris VI) mais aussi dans des écoles d'ingénieurs. Il est consacré à l'étude des algorithmes pratiques de calcul numérique (ce qu'on appelle plus simplement l'analyse numérique) pour des problèmes d'algèbre linéaire. Cette intersection de l'algèbre linéaire et de l'analyse numérique est appelée analyse numérique matricielle car on s'y intéresse tout spécialement aux matrices. Autrement dit, il s'agit de la branche des mathématiques appliquées dédiée à la résolution pratique, à l'aide d'ordinateurs, de problèmes d'algèbre linéaire.

Dans la presque totalité des applications du calcul numérique, en physique, en mécanique, en chimie, en finance, etc., l'algèbre linéaire, et plus particulièrement l'analyse numérique matricielle, joue un rôle clé. En fin de compte, la simulation numérique se réduit le plus souvent, pour l'ordinateur, à effectuer une série de calculs matriciels. On peut distinguer deux types de problèmes qui reviennent souvent dans toutes ces applications. Il s'agit d'une part du calcul des valeurs et vecteurs propres d'une matrice, et d'autre part de la résolution de systèmes linéaires. Il y a, bien sûr, d'autres problèmes possibles, mais ces deux-là sont vraiment centraux et seront étudiés en détail dans ce cours.

D'un point de vue théorique, ces deux questions sont complètement résolues depuis bien longtemps. On connaît les conditions nécessaires et suffisantes d'existence et d'unicité de la solution d'un système linéaire, ou bien les critères de diagonalisation d'une matrice. Mais les progrès fantastiques de l'ordinateur ont transformé ces questions théoriques en des problèmes pratiques tout à fait concrets. Un mathématicien appliqué, ou un numéricien, ne se satisfait pas d'un théorème d'existence de solutions. Il lui faut aussi un algorithme (c'est-à-dire une méthode pratique) de calcul de ces solutions si elles ne sont pas explicites. Cet algorithme doit être efficace (par exemple il ne doit pas demander trop de temps de calcul sur un ordinateur), ce qui conduit à éliminer de nombreuses méthodes très simples en apparence mais qui sont inutilisables dans la pratique. Cet algorithme doit être stable, c'est-à-dire que les inévitables erreurs d'arrondi sur un ordinateur ne doivent entraîner que des erreurs du même ordre de grandeur (donc petites) sur la solution calculée. Il s'agit là des deux questions fondamentales du point de vue de l'analyse numérique : efficacité et stabilité des algorithmes.

Ce livre, issu de cours de licence ou de première année d'école d'ingénieur, veut s'adresser résolument à un public d'étudiants du tout début de deuxième cycle universitaire. C'est pourquoi il comporte des rappels d'algèbre linéaire qui lui permettent d'être auto-contenu et d'éviter de trop fréquents retours vers des cours ou des ouvrages de premier cycle universitaire. En effet, depuis des réformes récentes de l'enseignement, on constate très souvent qu'en début de deuxième cycle l'algèbre linéaire n'est pas encore complètement assimilée par les étudiants car il s'agit d'un domaine encore relativement nouveau pour eux. Pour cette même raison, malgré le caractère volontairement appliqué de ce livre, son ambition n'est pas de fournir systématiquement les meilleurs algorithmes possibles utilisés dans la pratique, si ceux-ci sont trop compliqués et dépassent le niveau du public visé. Pour cela il existe d'excellents ouvrages de niveau maîtrise ou troisième cycle auxquels nous renvoyons le lecteur avide d'en savoir plus (voir la bibliographie du livre). Nous nous limitons donc aux algorithmes les plus simples et les plus exemplaires, à défaut d'être les plus efficaces, par souci de pédagogie.

Depuis l'avènement des ordinateurs, et surtout depuis l'apparition de logiciels de calcul simples et conviviaux, fonctionnant sur ordinateur personnel (comme Maple, Mathematica, Matlab, Octave, Scilab), les mathématiques sont devenues une vraie science expérimentale au même titre que la physique ou la mécanique. On peut en effet effectuer très facilement des expériences numériques sur ordinateur qui permettent de développer l'intuition, de vérifier un théorème ou une conjecture, de quantifier l'efficacité d'une méthode. L'originalité de ce livre est donc de proposer systématiquement de suivre cette approche expérimentale à l'aide du logiciel libre de calcul numérique, Scilab, développé par l'INRIA (Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique) et disponible gratuitement sur la toile à l'adresse http://www-rocq.inria.fr/scilab. Cette orientation du livre ne fait que traduire l'évolution de l'enseignement universitaire et en grandes écoles, ainsi que les programmes de divers concours comme celui de l'agrégation de mathématiques (où il existe une épreuve pratique de simulation numérique). A la fin de chaque chapitre des exercices pratiques sont proposés au lecteur, qui allient expérimentation ou programmation en Scilab et réflexion et démonstration sur le "papier". Nous insistons sur le caractère essentiel de ces exercices pratiques qui complètent le cours au même titre que les exercices classiques effectués en travaux dirigés.

Les auteurs espèrent que ce cours, qui est une introduction à l'analyse numérique (discipline qui déborde largement l'algèbre linéaire numérique), permettra aux lecteurs de bien comprendre les enjeux des mathématiques appliquées et, pourquoi pas, de les encourager à continuer dans cette voie. Enfin, nous remercions nos collègues Adel Blouza et Pascal Joly pour leur relecture de certaines parties du manuscrit.