Sorbonne Université

Master de Sciences & Technologies

M2 Mathématiques & Applications (Sorbonne Université)

Méthodes mathématiques et analyse numérique pour la simulation moléculaire.

G. Stoltz Ecole Nationale des Ponts et Chaussées

Support de cours

Prérequis : Un cours de processus stochastiques tel que le cours fondamental de “Méthodes numériques probabilistes” de Tony Lelièvre

L'objectif de ce cours : Ce cours est une introduction à la simulation moléculaire, qui est la version computationnelle de la physique statistique. Ces techniques numériques sont couramment utilisées dans de nombreux domaines d'application (physique, chimie, biologie computationnelle, science des matériaux), mais également en big data (échantillonnage de mesures de probabilités en dimension grande pour des modèles d'inférence statistique). Elles sont toutefois encore trop peu étudiées d'un point-de-vue mathématique.

Thèmes abordés : Après une brève introduction aux concepts les plus importants de la physique statistique (notamment la description des macroétats d'un système par une mesure de probabilité), on commence par présenter l'échantillonnage des états à énergie constante par l'intégration en temps long de la dynamique Hamiltonienne et sa discrétisation en temps (théorie de l'intégration géométrique).

On se tourne ensuite vers la partie principale du cours : l'échantillonnage des mesures de Boltzmann-Gibbs par différentes techniques, notamment chaines de Markov et équations différentielles stochastiques. On s'attache à prouver la convergence des méthodes employées par des arguments relevant le plus possible de l'analyse (par exemple, méthode de Lyapunov à la Hairer-Mattingly pour les chaines de Markov ; inégalités fonctionnelles, hypoellipticité, théorie de l'hypocoercivité, etc, pour les équations différentielles stochastique de type Langevin).

On considère également l'analyse numérique des erreurs engendrées par la discrétisation des dynamiques continues ; ainsi que l'étude des systèmes hors d'équilibre pour lesquels la mesure invariante n'est pas connue, mais dont les propriétés peuvent être étudiées par l'étude des perturbations de l'opérateur de Fokker-Planch sous-jacent.