Contrôle en dimension finie et infinie

E. Trelat Université Pierre Marie Curie

Support de cours :

Contrôle optimal: théorie & applications. E. Trélat.

Sujets d'examens :

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Objectifs de l'UE :

La théorie du contrôle est une branche des mathématiques permettant de contrôler un système sur lequel on a une action, une commande (comme une voiture, une fusée, une réaction chimique, un système biologique, un marché financier, etc). Le problème de contrôlabilité consiste alors à déterminer une loi de contrôle permettant d'emmener, de guider ce système vers un certain état final désiré. L'objectif de ce module est de donner des résultats d'analyse permettant d'aborder la contrôlabilité, le contrôle optimal, la stabilisation, et l'observabilité de systèmes linéaires et non linéaires.

On parle de contrôle optimal lorsque, en plus de contrôler un système (i.e., de le guider vers un état final), on veut de plus minimiser un certain critère – par exemple, minimiser une consommation, maximiser un rendement. On parle de stabilisation lorsqu'on veut construire un feedback, i.e. un contrôle dépendant de l'état, afin de rendre le système autonome, ou bien robuste aux perturbations extérieures. On parle d'observabilité lorsqu'on cherche à reconstruire l'état complet d'un système à partir d'observations partielles de cet état.

De nombreux exemples concrets seront donnés, dans diverses disciplines (mécanique, biologie, maths financières, électronique, etc).

Prérequis :

Aucun.

Thèmes abordés :

• Contrôlabilité: systèmes linéaires autonomes (Kalman), instationnaires (Gramienne). Systèmes non linéaires: résultats de contrôlabilité locale.
• Contrôle optimal: principe du maximum de Pontryagin. Cas particulier des systèmes linéaires. Théorie linéaire-quadratique, équation de Riccati, régulation. Systèmes non linéaires, exemples et exercices. Applications en maths bios, en mécanique, en maths financières.
• Stabilisation: systèmes linéaires (placement de pôles), stabilisation locale pour des systèmes non linéaires. Théorie de Lyapunov, Lasalle. Méthode de Jurdjevic-Quinn. Applications en aérospatiale, en maths bios.
• Introduction au contrôle en dimension infinie: semi-groupes, opérateur de contrôle, admissibilité, observabilité. Exemples: chaleur, ondes, Schrödinger. Méthode HUM. Etude de quelques EDP non linéaires élémentaires.