Sorbonne Université

Master de Sciences & Technologies

M2 Mathématiques & Applications (Sorbonne Université)

Méthodes numériques probabilistes

Julien Reygner (École Nationale des Ponts et Chaussées)

Support de cours et sujets d'examens :

http://cermics.enpc.fr/~lelievre/ANEDP/ANEDP.html

Objectifs de l'UE :

Ce cours est une introduction aux probabilités avec deux objectifs : comprendre le langage des probabilités qui intervient dans de nombreux modèles (physique statistique, mécanique quantique, chimie, biologie, finance) et présenter quelques méthodes numériques probabilistes qui peuvent notamment être utilisées pour résoudre des problèmes déterministes (résolution d'équations aux dérivées partielles, calcul de la première valeur propre d'un opérateur).

Prérequis :

On suppose acquis les fondements de la théorie de la mesure et de l'intégration. Les prérequis en probabilités sont très faibles (des rappels sont faits aux premiers cours).

Thèmes abordés :

On s'attache a présenter les concepts essentiels fondant les méthodes de Monte Carlo, les chaînes de Markov, les processus de diffusion et leurs liens avec les équations aux dérivées partielles. Plusieurs applications illustrent le cours : en physique statistique (méthodes d'échantillonnage d'une mesure de Boltzmann-Gibbs), en dynamique moléculaire (énergie libre, formule de Jarzynski), ou en finance (pricing d'option). Le plan du cours est le suivant : Variables aléatoires : espace probabilisé, notions de convergence, théorèmes limites, méthodes de Monte Carlo et de réduction de variance. Chaînes de Markov : équations de Kolmogorov, co.mportement asymptotique (ergodicité), méthodes Markov Chain Monte Carlo. Processus de diffusion : processus aléatoires et mouvement brownien, intégrales stochastiques et calcul d'Itô, équations différentielles stochastiques, liens avec les équations aux dérivées partielles (formules de Feynman-Kac et équation de Fokker-Planck), inégalité de Poincaré et comportement asymptotique.