Université Pierre et Marie Curie

Master de Sciences & Technologies

M2 Mathématiques & Applications (UPMC)

Problèmes multi-échelles. Aspects théoriques et numériques.

F. Legoll École Nationale des Ponts et Chaussées

Support de cours et sujets d'examens :

http://cermics.enpc.fr/~legoll/multiechelle.html

Objectifs de l'UE :

L'objectif de ce cours est d'étudier différents problèmes qui ont pour point commun de présenter un caractère multi-échelle, en temps ou en espace. On s'intéressera à la fois à des aspects théoriques (comportement effectif du problème) et à des aspects numériques, concernant notamment les méthodes numériques adaptées à la présence d'échelles variées. Les problèmes considérés seront essentiellement des problèmes déterministes (l'extension au cas aléatoire étant parfois brièvement mentionné).

Prérequis :

On supposera que les étudiants ont acquis les notions de base concernant l'analyse des EDP linéaires elliptiques, et l'analyse numérique des méthodes de discrétisation standard (typiquement, approximation variationnelle des EDP, schémas d'Euler pour les EDOs), pour des problèmes mono-échelles.

Thèmes abordés :

On commencera le cours en se familiarisant avec les techniques classiques d'homogénéisation, sur un exemple particulier d'EDP elliptique: convergence à deux échelles, homogénéisation périodique (l'extension au cas aléatoire sera évoquée), questions de couche limite. Les outils théoriques associés (en particulier la méthode de la fonction test oscillante et le lemme div-curl) seront ensuite présentés. On discutera enfin le cas où le système n'est pas périodique, en introduisant des méthodes numériques robustes à la présence de plusieurs échelles. L'analyse numérique de ces méthodes sera présentée.

Dans la suite du cours, on partira de plusieurs modèles physiques pour introduire des problématiques multi-échelles variées. Les outils permettant l'analyse mathématique et l'analyse numérique de ces problèmes seront ensuite introduits. Les applications suivantes (entre autres) seront abordées: