Sorbonne Université

Master de Sciences & Technologies

M2 Mathématiques & Applications (Sorbonne Université)

Approximation de fonctions et espaces de Sobolev

A. Moussa Sorbonne Université

Polycopié du cours

Le but de ce cours est de se familiariser avec un concept fondamental dans l’étude des EDP : l’approximation des fonctions. Il n’est bien évidemment pas question d’exhaustivité ici ; nous allons plutôt mettre en regard deux philosophies d’approximation absolument standards, en essayant de fournir le plus d’exemples possibles. La première partie du cours se concentre ainsi sur l’approximation locale à travers le produit de convolution. De nombreux résultats de cette partie se retrouvent dans un cours d’intégration (peut-être un peu musclé) ou un cours d’analyse fonctionnelle de M1. C’est en essayant de comprendre la vitesse d’approximation des fonctions par ce procédé qu’apparaîtront de manière naturelle les espaces de Sobolev, objets de la seconde partie. La dernière partie présente plusieurs méthodes d’approximation globale où le paramètre asymptotique est la dimension d’un espace vectoriel bien choisi. Dans certains cas spécifiques, nous verrons que les points de vue global et local peuvent se confondre. Toutes les estimations d’erreur que nous fournirons s’exprimeront à travers des normes de Sobolev, ce qui motive le titre du cours et la partie dédiée à ceux-ci. Ce cours n’a pas vocation à être auto-contenu ; certains résultats sont utilisés ou énoncés sans preuve. Enfin, le lecteur trouvera en annexe de nombreux rappels sur l’intégrale de Lebesgue.