Aléa et EDP : quelques exemples

Antoine Gloria

Ce cours sera enseigné en anglais.

L'interaction entre équations aux dérivées partielles (EDP) et probabilités est un champ de recherche très actif qui a connu des percées fondamentales ces quinze dernières années.

Citons trois exemples.

• Les EDPS (S pour stochastique) : équations avec forçage aléatoire. Il s'agit d'équations dont le terme source est un bruit aléatoire. La difficulté pour analyser ces équations vient du fait que la réalisation d'un bruit aléatoire est un objet très peu régulier (penser au mouvement erratique d'un marcheur aléatoire). A hasard fixé (on parle de réalisation), l'EDPS (qui n'est alors rien d'autre qu'une EDP déterministe) n'est pas forcément bien posée car on est amené à multiplier (formellement) des distributions. La problématique est de définir une notion de solution.
• Les EDP avec conditions initiales aléatoires. Certaines EDP d'évolution peuvent conduire à des phénomènes d'explosion en temps fini pour des conditions initiales bien (ou mal) choisies (comme pour des à EDO). Ce comportement est-il générique ? La question revient à munir l'espace des conditions initiales d'une structure d'espace de probabilité et à y définir une mesure de probabilité pour laquelle l'équation d'évolution est bien posée pour presque toute condition initiale.
• Les EDP à coefficients aléatoires. Dans ce cas, le champ aléatoire entre dans la définition même de l'opérateur (modélisant par exemple un coefficient de diffusion hétérogène et aléatoire). Les questions ne sont pas de prime abord des questions d'existence ou de régularité, mais plutôt des questions de type ergodique : quelle est la statistique de la solution en fonction de la statistique des coefficients, à quoi ressemble-t-elle aux grandes échelles ?

Dans ces trois exemples de nature très différente, la difficulté de l'analyse vient de la non linéarité de l'interaction entre l'opérateur différentiel et le hasard (via la non linéarité de l'opérateur dans les deux premiers cas).

L’objectif de ce cours est de traiter un exemple (le plus simple possible) de chaque type.

Pré-requis : avoir suivi le cours de base de probabilités pour les mathématiques de la modélisation.