Sorbonne Université

Master de Sciences & Technologies

M2 Mathématiques & Applications (Sorbonne Université)

Méthodes de tenseurs pour la résolution d'EDPs en grande dimension

Virginie Ehrlacher & Mi-Song Dupuy

Support de cours :

Notes de cours n°1

Résumé :

Ce cours est une introduction à la théorie et à la pratique des méthodes dites “de tenseurs” pour la résolution d’équations aux dérivées partielles en grande dimension. Pour approcher numériquement une fonction dépendant d’un grand nombre de variables, solution d’une équation aux dérivées partielles, les méthodes numériques classiques comme la méthode des élements finis ne peuvent pas être utilisées en pratique à cause du phénomème qu’on appelle la malédiction de la dimensionalité: pour un degré de précision fixé, le nombre d’inconnues à identifier pour approcher la fonction augmente de manière exponentielle avec le nombre de variables dont celle-ci dépend! Il y a cependant de nombreux types d’équations dont la solution dépend d’un grand nombre de variables: l’équation de Schrödinger en chimie ou physique quantique, l’équation de Fokker-Planck pour les systèmes stochastiques, les modèles de jeux à champs moyen en théorie des jeux… Dans ce cours, nous présenterons les principales propriétés mathématiques des principaux formats de tenseurs, comme les trains ou les réseaux de tenseurs, ainsi que diverses méthodes numériques associées pour la résolution d’équations aux dérivées partielles.