Introduction aux EDP stochastiques

Anne de Bouard Ecole Polytechnique

Objectifs de l'UE :

Le but du cours est d’introduire les méthodes de base pour l’étude mathématique d’EDP (paraboliques) faisant intervenir des termes aléatoires qui, parce qu’ils modélisent des phénomènes qui se produisent à des échelles de temps beaucoup plus petites que les phénomènes déterministes, sont des bruits blancs en temps. De telles équations interviennent naturellement en physique (par exemple, mais pas seulement, pour modéliser la turbulence dans certains fluides), en biologie (dynamique des populations, neurosciences, ...) ou en finance.

Thèmes abordés :

Après des rappels de base en probabilités et processus stochastiques, on introduira le mouvement brownien, puis le calcul d’Ito en dimensions finie et infinie. On montrera alors des résultatsd’existence de solutions d’EDP stochastiques forcées par un bruit blanc. On étudiera ensuite, suivant le temps restant, le comportement des solutions en temps infini (existence d’une mesure invariante, ergodicité, ...). Aucun prérequis n’est demandé en probabilités.

Références :

• G. Da Prato, J. Zabczyk, “Stochastic Equations in Infinite Dimensions”, Cambridge University Press
• Voir aussi le cours de Martin Hairer : “An Introduction to Stochastic PDEs” (https://arxiv.org/pdf/0907.4178.pdf)