Transport optimal : théorie et applications

Max Fathi Université de Paris

Thèmes abordés :

Le transport optimal est une théorie mathématique développée à l'origine pour modéliser et étudier les problèmes d'allocation optimale de ressources. Au cours des 30 dernières années, elle a trouvé de nombreuses applications (imagerie, mécanique des fluides, physique statistiques, mathématiques financières...), y compris à d'autres branches des mathématiques (géométrie différentielle, probabilités, statistiques...). Ce cours portera a priori sur les thèmes suivants, mais pourra être adapté en fonction des domaines d'intérêts des participants.

• Théorie générale du transport optimal : formulation mathématique, dualité, structure. Cas particulier du coût quadratique, et liens avec les équations de Monge-Ampère.
• Calcul différentiel sur les espaces de mesures de probabilités via le transport optimal, et applications aux équations d'évolution linéaires et non-linéaires (existence de solutions, comportement en temps long).
• Régularisation entropique et transport optimal numérique.
• Applications aux inégalités fonctionnelles (inégalités de Sobolev, inégalités isopérimétriques et de concentration).

Prérequis :

Un cours d'analyse fonctionnelle de M1, et une bonne familiarité avec les probabilités continues. Avoir suivi le cours d'introduction aux équations d'évolution sera utile, mais pas indispensable.