Optimisation de formes: aspects géométriques et topologiques

Gabriel Amstutz Ecole Polytechnique

L'optimisation de formes consiste à rechercher la forme d'un domaine de manière à minimiser un certain critère (voire plusieurs critères), tout en satisfaisant d'éventuelles contraintes. L'évaluation de ces fonctions fait généralement intervenir la résolution d'équations aux dérivées partielles (élasticité, mécanique des fluides, électromagnétisme...). Des méthodes numériques sont alors nécessaires. L'objectif du cours est d'introduire certaines des principales notions mathématiques permettant la construction et l'analyse de telles méthodes. Les points suivants seront abordés.

• Existence et non-existence de formes optimales, notions de convergence, critères de régularité
• Elements de contrôle optimal: état adjoint, dérivation de valeurs propres
• Dérivation par rapport à la forme
• Méthodes de lignes de niveau
• Dérivation par rapport à la topologie
• Méthodes d'interpolation