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Résumé.
Des inégalités spectrales furent introduites en théorie du contrôle
par David Russell et George Weiss en 1994 pour généraliser le test de
contrôlabilité de Hautus à la dimension infinie. Elles constituent un
outil efficace pour le contrôle de l'équation de Schrödinger linéaire
en temps arbitraire au moyen d'un terme source localisé, comme
démontré par Nicolas Burq et Maciej Zworski en 2004 grâce à
l'unitarité de la transformée de Fourier dans les espaces de Hilbert.
Elle permettent aussi d'analyser le filtrage suffisant pour
discrétiser en espace cette équation, comme initié par Sylvain
Ervedoza en 2008. Parallèlement s'est développée une approche de la contrôlabilitéde
l'équation de la chaleur linéaire en temps arbitraire au moyen d'un
terme source localisé partant d'un autre type d'inégalités spectrales,
introduit par Gilles Lebeau, suivant la stratégie itérative qu'il
avait conçu avec Luc Robbiano en 1995.
Cet exposé relira ces deux approches spectrales, comparera le contrôle
du groupe de Schrödinger et le semigroupe de la chaleur au niveau de
l'analyse fonctionnelle abstraite, et l'illustrera avec des exemples
de problèmes d'EDP. Il s'agit d'une collaboration avec Thomas
Duyckaerts de l'Université Paris 13. La référence principale de cet exposé est la prépublication téléchargeable suivante : Resolvent conditions for the control of parabolic equations, en collaboration avec Thomas Duykaerts.
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