Les méthodes de Volumes Finis (VF) sont très utilisées dans l'art de l'ingénieur. Cette méthode de discrétisation des équations aux dérivées partielles repose essentiellement sur la notion d'équation de bilan et de flux. Un avantage est la bonne prise en compte des termes non linéaires. Cependant la théorie mathématique des méthodes de Volumes Finis est loin d'être complète. L'objectif de ce cours est de présenter les bases de construction des schémas de Volumes Finis à partir d'exemples simples tels que équation du transport et équation de la chaleur, et de mettre en place une théorie de convergence numérique pour les problèmes linéaires. Des exemples de schémas non linéaires seront traités en détails.

Séance 1 : Mode de construction des VF. Problèmes modèles. Comparaison en 1D avec les Eléments Finis (EF) et les Différences Finies (DF).
Séance 2 : Preuve de convergence en 1D en positionnant les degrés de libertés pour obtenir la consistance. Non consistance en 2D.
Séance 3 : Convergence d'un problème abstrait non-consistant.
Séance 4 : Convergence en 2D pour l'équation du transport dans $L^p$.
Séance 5 : Schéma d'ordre élevé pour le transport. Convergence pour les solutions régulières ou discontinues.
Séance 6 : Schémas VF non linéaires de type TVD
Séance 7 : Schémas VF non linéaires de type Repair
Séance 8 : Les systèmes linéaires tels que le système des ondes.
Séance 9 : VF pour l'équation de la chaleur. Contraintes sur le maillage et problèmes ouverts.
Séance 10 : Méthodes de Galerkin Discontinues (qui sont intermédiaires entre les EF et les VF). Théorie $L^2$.
Séance 11 : Maillage mobile et VF.
Séance 12 : VF pour les problèmes non linéaires.